Theorem eigvalvalt 9818

Description: The eigenvalues of eigenvectors of a Hilbert space operator.

Assertion

Ref	Expression
eigvalvalt	|- (T:H~-->H~ -> (eigval` T) = {<.x, y>. | (x e. (eigvec` T) /\ y = (((T` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))})

Distinct variable group:   x,y,T

Proof of Theorem eigvalvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 3738	. . 3 |- (eigvec` T) e. V
2	1	opabex2 3616	. 2 |- {<.x, y>. | (x e. (eigvec` T) /\ y = (((T` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))} e. V
3		ax-hilex 8864	. 2 |- H~ e. V
4		fveq2 3730	. . . . 5 |- (t = T -> (eigvec` t) = (eigvec` T))
5	4	eleq2d 1544	. . . 4 |- (t = T -> (x e. (eigvec` t) <-> x e. (eigvec` T)))
6		fveq1 3729	. . . . . . 7 |- (t = T -> (t` x) = (T` x))
7	6	opreq1d 3981	. . . . . 6 |- (t = T -> ((t` x) .ih x) = ((T` x) .ih x))
8	7	opreq1d 3981	. . . . 5 |- (t = T -> (((t` x) .ih x) / ((normh` x)^2)) = (((T` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))
9	8	eqeq2d 1489	. . . 4 |- (t = T -> (y = (((t` x) .ih x) / ((normh` x)^2)) <-> y = (((T` x) .ih x) / ((normh` x)^2))))
10	5, 9	anbi12d 630	. . 3 |- (t = T -> ((x e. (eigvec` t) /\ y = (((t` x) .ih x) / ((normh` x)^2))) <-> (x e. (eigvec` T) /\ y = (((T` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))))
11	10	opabbidv 2675	. 2 |- (t = T -> {<.x, y>. | (x e. (eigvec` t) /\ y = (((t` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))} = {<.x, y>. | (x e. (eigvec` T) /\ y = (((T` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))})
12		df-eigval 9775	. 2 |- eigval = {<.t, z>. | (t:H~-->H~ /\ z = {<.x, y>. | (x e. (eigvec` t) /\ y = (((t` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))})}
13	2, 3, 3, 11, 12	fvopabf4 4346	1 |- (T:H~-->H~ -> (eigval` T) = {<.x, y>. | (x e. (eigvec` T) /\ y = (((T` x) .ih x) / ((normh` x)^2)))})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  {copab 2671  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969   / cdiv 5306  2c2 5963  ^cexp 6569  H~chil 8783   .ih csp 8788  normhcno 8789  eigveccei 8823  eigvalcel 8824

This theorem is referenced by:  eigvalt 9879

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-hilex 8864

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-map 4330  df-eigval 9775

Copyright terms: Public domain