Theorem eirrlem4 7392

Description: Lemma for eirr 7394.

Hypotheses

Ref	Expression
eirrlem2.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((1^j) / (!` j)))}
eirrlem2.2	|- P e. ZZ
eirrlem2.3	|- Q e. NN

Assertion

Ref	Expression
eirrlem4	|- 0 < ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k))

Distinct variable groups:   k,F   Q,j,k,y

Proof of Theorem eirrlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eirrlem2.3	. . . . 5 |- Q e. NN
2	1	nnnn0 6107	. . . 4 |- Q e. NN0
3		facclt 6940	. . . 4 |- (Q e. NN0 -> (!` Q) e. NN)
4	2, 3	ax-mp 7	. . 3 |- (!` Q) e. NN
5	4	nnre 5931	. 2 |- (!` Q) e. RR
6		nn0p1nnt 6175	. . . . . 6 |- (Q e. NN0 -> (Q + 1) e. NN)
7	2, 6	ax-mp 7	. . . . 5 |- (Q + 1) e. NN
8	7	nnnn0 6107	. . . 4 |- (Q + 1) e. NN0
9		nn0zt 6154	. . . 4 |- ((Q + 1) e. NN0 -> (Q + 1) e. ZZ)
10	8, 9	ax-mp 7	. . 3 |- (Q + 1) e. ZZ
11		nn0uz 6438	. . . . . . 7 |- NN0 = (ZZ>` 0)
12	8, 11	eleqtr 1546	. . . . . 6 |- (Q + 1) e. (ZZ>` 0)
13		uztrn 6428	. . . . . 6 |- ((k e. (ZZ>` (Q + 1)) /\ (Q + 1) e. (ZZ>` 0)) -> k e. (ZZ>` 0))
14	12, 13	mpan2 696	. . . . 5 |- (k e. (ZZ>` (Q + 1)) -> k e. (ZZ>` 0))
15		elnn0uz 6441	. . . . . 6 |- (k e. NN0 <-> k e. (ZZ>` 0))
16		eirrlem2.1	. . . . . . . 8 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((1^j) / (!` j)))}
17	16	eftval 7316	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (F` k) = ((1^k) / (!` k)))
18		1re 5435	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
19		reeftclt 7374	. . . . . . . 8 |- ((1 e. RR /\ k e. NN0) -> ((1^k) / (!` k)) e. RR)
20	18, 19	mpan 695	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> ((1^k) / (!` k)) e. RR)
21	17, 20	eqeltrd 1548	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> (F` k) e. RR)
22	15, 21	sylbir 201	. . . . 5 |- (k e. (ZZ>` 0) -> (F` k) e. RR)
23	14, 22	syl 10	. . . 4 |- (k e. (ZZ>` (Q + 1)) -> (F` k) e. RR)
24	23	rgen 1698	. . 3 |- A.k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k) e. RR
25		ax1cn 5269	. . . 4 |- 1 e. CC
26	16	eftlext 7378	. . . 4 |- ((1 e. CC /\ (Q + 1) e. NN) -> E.x(<.(Q + 1), + >. seq F) ~~> x)
27	25, 7, 26	mp2an 697	. . 3 |- E.x(<.(Q + 1), + >. seq F) ~~> x
28		nn0ex 6105	. . . . 5 |- NN0 e. V
29	28, 16	fopabex2 3612	. . . 4 |- F e. V
30	29	isumreclt 7210	. . 3 |- (((Q + 1) e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k) e. RR /\ E.x(<.(Q + 1), + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k) e. RR)
31	10, 24, 27, 30	mp3an 916	. 2 |- sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k) e. RR
32	4	nngt0 5950	. 2 |- 0 < (!` Q)
33		divgt0t 5855	. . . . . . . 8 |- ((((1^k) e. RR /\ 0 < (1^k)) /\ ((!` k) e. RR /\ 0 < (!` k))) -> 0 < ((1^k) / (!` k)))
34		1expt 6584	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 -> (1^k) = 1)
35	34, 18	syl6eqel 1556	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (1^k) e. RR)
36		lt01 5680	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 1
37	34, 36	syl5breqr 2651	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> 0 < (1^k))
38	35, 37	jca 288	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> ((1^k) e. RR /\ 0 < (1^k)))
39		facclt 6940	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (!` k) e. NN)
40		nnret 5929	. . . . . . . . . 10 |- ((!` k) e. NN -> (!` k) e. RR)
41		nngt0t 5946	. . . . . . . . . 10 |- ((!` k) e. NN -> 0 < (!` k))
42	40, 41	jca 288	. . . . . . . . 9 |- ((!` k) e. NN -> ((!` k) e. RR /\ 0 < (!` k)))
43	39, 42	syl 10	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> ((!` k) e. RR /\ 0 < (!` k)))
44	33, 38, 43	sylanc 471	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> 0 < ((1^k) / (!` k)))
45	44, 17	breqtrrd 2641	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> 0 < (F` k))
46	21, 45	jca 288	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> ((F` k) e. RR /\ 0 < (F` k)))
47	15, 46	sylbir 201	. . . 4 |- (k e. (ZZ>` 0) -> ((F` k) e. RR /\ 0 < (F` k)))
48	47	rgen 1698	. . 3 |- A.k e. (ZZ>` 0)((F` k) e. RR /\ 0 < (F` k))
49	16	efseq0ex 7311	. . . . 5 |- (1 e. CC -> E.x( + seq0 F) ~~> x)
50	25, 49	ax-mp 7	. . . 4 |- E.x( + seq0 F) ~~> x
51		addex 5317	. . . . . . 7 |- + e. V
52	51, 29	seq0seqz 6542	. . . . . 6 |- ( + seq0 F) = (<.0, + >. seq F)
53	52	breq1i 2626	. . . . 5 |- (( + seq0 F) ~~> x <-> (<.0, + >. seq F) ~~> x)
54	53	exbii 1051	. . . 4 |- (E.x( + seq0 F) ~~> x <-> E.x(<.0, + >. seq F) ~~> x)
55	50, 54	mpbi 189	. . 3 |- E.x(<.0, + >. seq F) ~~> x
56	29	iserzgt0 7211	. . 3 |- (((Q + 1) e. (ZZ>` 0) /\ A.k e. (ZZ>` 0)((F` k) e. RR /\ 0 < (F` k)) /\ E.x(<.0, + >. seq F) ~~> x) -> 0 < sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k))
57	12, 48, 55, 56	mp3an 916	. 2 |- 0 < sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)
58	5, 31, 32, 57	mulgt0i 5608	1 |- 0 < ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k))

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  A.wral 1645  <.cop 2411   class class class wbr 2619  {copab 2666  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239   / cdiv 5294  NNcn 5296  NN0cn0 5297  ZZcz 5298   < clt 5486  ZZ>cuz 6417   seq cseqz 6531   seq0 cseq0 6532  ^cexp 6568  !cfa 6931   ~~> cli 6974  sum_csu 6979

This theorem is referenced by:  eirrlem5 7393

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-seq0 6534  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-fac 6932  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298

Copyright terms: Public domain