Theorem eirrlem5 7393

Description: Lemma for eirr 7394.

Hypotheses

Ref	Expression
eirrlem2.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((1^j) / (!` j)))}
eirrlem2.2	|- P e. ZZ
eirrlem2.3	|- Q e. NN

Assertion

Ref	Expression
eirrlem5	|- -. e = (P / Q)

Distinct variable group:   Q,j,y

Proof of Theorem eirrlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 6146	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		eirrlem2.1	. . . 4 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((1^j) / (!` j)))}
3		eirrlem2.2	. . . 4 |- P e. ZZ
4		eirrlem2.3	. . . 4 |- Q e. NN
5	2, 3, 4	eirrlem4 7392	. . 3 |- 0 < ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k))
6	2, 3, 4	eirrlem3 7391	. . . 4 |- ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)) < 1
7		ax1cn 5269	. . . . 5 |- 1 e. CC
8	7	addid2 5331	. . . 4 |- (0 + 1) = 1
9	6, 8	breqtrr 2640	. . 3 |- ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)) < (0 + 1)
10		btwnnzt 6192	. . 3 |- ((0 e. ZZ /\ 0 < ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)) /\ ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)) < (0 + 1)) -> -. ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)) e. ZZ)
11	1, 5, 9, 10	mp3an 916	. 2 |- -. ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)) e. ZZ
12		efvalt 7308	. . . . . . . . . 10 |- (1 e. CC -> (exp` 1) = sum_k e. NN0 ((1^k) / (!` k)))
13	7, 12	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (exp` 1) = sum_k e. NN0 ((1^k) / (!` k))
14		df-e 7299	. . . . . . . . 9 |- e = (exp` 1)
15	2	eftval 7316	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 -> (F` k) = ((1^k) / (!` k)))
16	15	sumeq2i 6988	. . . . . . . . 9 |- sum_k e. NN0 (F` k) = sum_k e. NN0 ((1^k) / (!` k))
17	13, 14, 16	3eqtr4 1505	. . . . . . . 8 |- e = sum_k e. NN0 (F` k)
18	17	eqeq1i 1482	. . . . . . 7 |- (e = (P / Q) <-> sum_k e. NN0 (F` k) = (P / Q))
19	18	biimp 151	. . . . . 6 |- (e = (P / Q) -> sum_k e. NN0 (F` k) = (P / Q))
20	19	opreq1d 3975	. . . . 5 |- (e = (P / Q) -> (sum_k e. NN0 (F` k) - sum_k e. (0...Q)(F` k)) = ((P / Q) - sum_k e. (0...Q)(F` k)))
21	20	opreq2d 3976	. . . 4 |- (e = (P / Q) -> ((!` Q) x. (sum_k e. NN0 (F` k) - sum_k e. (0...Q)(F` k))) = ((!` Q) x. ((P / Q) - sum_k e. (0...Q)(F` k))))
22		ere 7330	. . . . . . . 8 |- e e. RR
23	17, 22	eqeltrr 1545	. . . . . . 7 |- sum_k e. NN0 (F` k) e. RR
24	23	recn 5314	. . . . . 6 |- sum_k e. NN0 (F` k) e. CC
25	4	nnnn0 6107	. . . . . . . 8 |- Q e. NN0
26		nn0uz 6438	. . . . . . . 8 |- NN0 = (ZZ>` 0)
27	25, 26	eleqtr 1546	. . . . . . 7 |- Q e. (ZZ>` 0)
28		fzssuzt 6505	. . . . . . . 8 |- (0...Q) (_ (ZZ>` 0)
29		elnn0uz 6441	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 <-> k e. (ZZ>` 0))
30		eftclt 7303	. . . . . . . . . . . 12 |- ((1 e. CC /\ k e. NN0) -> ((1^k) / (!` k)) e. CC)
31	7, 30	mpan 695	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. NN0 -> ((1^k) / (!` k)) e. CC)
32	15, 31	eqeltrd 1548	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 -> (F` k) e. CC)
33	29, 32	sylbir 201	. . . . . . . . 9 |- (k e. (ZZ>` 0) -> (F` k) e. CC)
34	33	rgen 1698	. . . . . . . 8 |- A.k e. (ZZ>` 0)(F` k) e. CC
35		ssralv 2114	. . . . . . . 8 |- ((0...Q) (_ (ZZ>` 0) -> (A.k e. (ZZ>` 0)(F` k) e. CC -> A.k e. (0...Q)(F` k) e. CC))
36	28, 34, 35	mp2 43	. . . . . . 7 |- A.k e. (0...Q)(F` k) e. CC
37		fsumclt 7015	. . . . . . 7 |- ((Q e. (ZZ>` 0) /\ A.k e. (0...Q)(F` k) e. CC) -> sum_k e. (0...Q)(F` k) e. CC)
38	27, 36, 37	mp2an 697	. . . . . 6 |- sum_k e. (0...Q)(F` k) e. CC
39		peano2nn 5935	. . . . . . . . 9 |- (Q e. NN -> (Q + 1) e. NN)
40	4, 39	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (Q + 1) e. NN
41		nnzt 6153	. . . . . . . 8 |- ((Q + 1) e. NN -> (Q + 1) e. ZZ)
42	40, 41	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (Q + 1) e. ZZ
43	2	eftlext 7378	. . . . . . . 8 |- ((1 e. CC /\ (Q + 1) e. NN) -> E.x(<.(Q + 1), + >. seq F) ~~> x)
44	7, 40, 43	mp2an 697	. . . . . . 7 |- E.x(<.(Q + 1), + >. seq F) ~~> x
45		nn0ex 6105	. . . . . . . . 9 |- NN0 e. V
46	45, 2	fopabex2 3612	. . . . . . . 8 |- F e. V
47	46	isumclt 7209	. . . . . . 7 |- (((Q + 1) e. ZZ /\ E.x(<.(Q + 1), + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k) e. CC)
48	42, 44, 47	mp2an 697	. . . . . 6 |- sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k) e. CC
49		eftclt 7303	. . . . . . . . . 10 |- ((1 e. CC /\ j e. NN0) -> ((1^j) / (!` j)) e. CC)
50	7, 49	mpan 695	. . . . . . . . 9 |- (j e. NN0 -> ((1^j) / (!` j)) e. CC)
51	2, 50	fopab 3827	. . . . . . . 8 |- F:NN0-->CC
52	2	efseq0ex 7311	. . . . . . . . 9 |- (1 e. CC -> E.x( + seq0 F) ~~> x)
53	7, 52	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- E.x( + seq0 F) ~~> x
54	25, 51, 53	isum0split 7217	. . . . . . 7 |- sum_k e. NN0 (F` k) = (sum_k e. (0...Q)(F` k) + sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k))
55	54	eqcomi 1479	. . . . . 6 |- (sum_k e. (0...Q)(F` k) + sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)) = sum_k e. NN0 (F` k)
56	24, 38, 48, 55	subaddri 5372	. . . . 5 |- (sum_k e. NN0 (F` k) - sum_k e. (0...Q)(F` k)) = sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)
57	56	opreq2i 3972	. . . 4 |- ((!` Q) x. (sum_k e. NN0 (F` k) - sum_k e. (0...Q)(F` k))) = ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k))
58	21, 57	syl5eqr 1521	. . 3 |- (e = (P / Q) -> ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)) = ((!` Q) x. ((P / Q) - sum_k e. (0...Q)(F` k))))
59	2, 3, 4	eirrlem2 7390	. . 3 |- ((!` Q) x. ((P / Q) - sum_k e. (0...Q)(F` k))) e. ZZ
60	58, 59	syl6eqel 1556	. 2 |- (e = (P / Q) -> ((!` Q) x. sum_k e. (ZZ>` (Q + 1))(F` k)) e. ZZ)
61	11, 60	mto 106	1 |- -. e = (P / Q)

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  A.wral 1645   (_ wss 2047  <.cop 2411   class class class wbr 2619  {copab 2666  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239   - cmin 5292   / cdiv 5294  NNcn 5296  NN0cn0 5297  ZZcz 5298   < clt 5486  ZZ>cuz 6417  ...cfz 6467   seq cseqz 6531   seq0 cseq0 6532  ^cexp 6568  !cfa 6931   ~~> cli 6974  sum_csu 6979  expce 7293  eceu 7294

This theorem is referenced by:  eirr 7394

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-seq0 6534  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-fac 6932  df-bc 6957  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298  df-e 7299

Copyright terms: Public domain