MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elbl Unicode version

Theorem elbl 17965
Description: Membership in a ball. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elbl  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( A  e.  X  /\  ( P D A )  < 
R ) ) )

Proof of Theorem elbl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blval 17964 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  =  { x  e.  X  |  ( P D x )  < 
R } )
21eleq2d 2363 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  A  e.  { x  e.  X  | 
( P D x )  <  R }
) )
3 oveq2 5882 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( P D x )  =  ( P D A ) )
43breq1d 4049 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( P D x )  <  R  <->  ( P D A )  <  R
) )
54elrab 2936 . 2  |-  ( A  e.  { x  e.  X  |  ( P D x )  < 
R }  <->  ( A  e.  X  /\  ( P D A )  < 
R ) )
62, 5syl6bb 252 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( A  e.  X  /\  ( P D A )  < 
R ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RR*cxr 8882    < clt 8883   * Metcxmt 16385   ballcbl 16387
This theorem is referenced by:  elbl2  17966  xblpnf  17969  bldisj  17971  blgt0  17972  xblss2  17974  blhalf  17976  xblcntr  17979  xbln0  17981  blin  17986  blss  17988  blres  17993  imasf1obl  18050  prdsbl  18053  blcls  18068  metcnp  18103  dscopn  18112  cnbl0  18299  bl2ioo  18314  blcvx  18320  xrsmopn  18334  recld2  18336  cnheibor  18469  nmhmcn  18617  lmmbr2  18701  iscau2  18719  dvlip2  19358  psercn  19818  abelth  19833  logtayl  20023  logtayl2  20025
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-xr 8887  df-xmet 16389  df-bl 16391
  Copyright terms: Public domain W3C validator