MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elbl2 Structured version   Unicode version

Theorem elbl2 18410
Description: Membership in a ball. (Contributed by NM, 9-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
elbl2  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( P  e.  X  /\  A  e.  X ) )  -> 
( A  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( P D A )  <  R
) )

Proof of Theorem elbl2
StepHypRef Expression
1 elbl 18408 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( A  e.  X  /\  ( P D A )  < 
R ) ) )
213expa 1153 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( P
( ball `  D ) R )  <->  ( A  e.  X  /\  ( P D A )  < 
R ) ) )
32an32s 780 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  ( A  e.  ( P
( ball `  D ) R )  <->  ( A  e.  X  /\  ( P D A )  < 
R ) ) )
43adantrr 698 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( P  e.  X  /\  A  e.  X ) )  -> 
( A  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( A  e.  X  /\  ( P D A )  < 
R ) ) )
5 simprr 734 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( P  e.  X  /\  A  e.  X ) )  ->  A  e.  X )
65biantrurd 495 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( P  e.  X  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( P D A )  <  R  <->  ( A  e.  X  /\  ( P D A )  <  R ) ) )
74, 6bitr4d 248 1  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( P  e.  X  /\  A  e.  X ) )  -> 
( A  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( P D A )  <  R
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RR*cxr 9109    < clt 9110   * Metcxmt 16676   ballcbl 16678
This theorem is referenced by:  elbl3  18412  blcom  18414  imasf1obl  18508  prdsbl  18511  blsscls2  18524  metcnp  18561  zdis  18837  metdsge  18869  cfil3i  19212  iscfil3  19216  iscmet3lem2  19235  caubl  19250  dvlog2lem  20533  lgamucov  24812  isbnd3  26447  cntotbnd  26459  ismtyima  26466  stirlinglem5  27758
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-map 7012  df-xr 9114  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-bl 16687
  Copyright terms: Public domain W3C validator