Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elcarelcl Unicode version

Theorem elcarelcl 26009
Description: An element of the cardinal of the Tarski's class  T is an element of  T. th. 14 CLASSES2. (Contributed by FL, 20-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
elcarelcl  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  ( card `  T
) )  ->  A  e.  T )

Proof of Theorem elcarelcl
StepHypRef Expression
1 carinttar2 26006 . . 3  |-  ( T  e.  Tarski  ->  ( card `  T
)  =  ( On 
i^i  T ) )
2 eleq2 2357 . . . 4  |-  ( (
card `  T )  =  ( On  i^i  T )  ->  ( A  e.  ( card `  T
)  <->  A  e.  ( On  i^i  T ) ) )
3 elin 3371 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( On  i^i  T )  <->  ( A  e.  On  /\  A  e.  T ) )
43simprbi 450 . . . 4  |-  ( A  e.  ( On  i^i  T )  ->  A  e.  T )
52, 4syl6bi 219 . . 3  |-  ( (
card `  T )  =  ( On  i^i  T )  ->  ( A  e.  ( card `  T
)  ->  A  e.  T ) )
61, 5syl 15 . 2  |-  ( T  e.  Tarski  ->  ( A  e.  ( card `  T
)  ->  A  e.  T ) )
76imp 418 1  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  ( card `  T
) )  ->  A  e.  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    i^i cin 3164   Oncon0 4408   ` cfv 5271   cardccrd 7584   Tarskictsk 8386
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-reg 7322  ax-ac2 8105
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 6320  df-recs 6404  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-card 7588  df-ac 7759  df-tsk 8387
  Copyright terms: Public domain W3C validator