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Theorem elcls3 16820
Description: Membership in a closure in terms of the members of a basis. Theorem 6.5(b) of [Munkres] p. 95. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elcls3.1  |-  ( ph  ->  J  =  ( topGen `  B ) )
elcls3.2  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
elcls3.3  |-  ( ph  ->  B  e.  TopBases )
elcls3.4  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
elcls3.5  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
Assertion
Ref Expression
elcls3  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  A. x  e.  B  ( P  e.  x  -> 
( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, P    x, S
Allowed substitution hints:    ph( x)    J( x)    X( x)

Proof of Theorem elcls3
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elcls3.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  =  ( topGen `  B ) )
2 elcls3.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  TopBases )
3 tgcl 16707 . . . . 5  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )
42, 3syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( topGen `  B )  e.  Top )
51, 4eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
6 elcls3.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
7 elcls3.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
86, 7sseqtrd 3214 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  U. J )
9 elcls3.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
109, 7eleqtrd 2359 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  U. J
)
11 eqid 2283 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
1211elcls 16810 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J  /\  P  e.  U. J )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  A. y  e.  J  ( P  e.  y  -> 
( y  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
135, 8, 10, 12syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  A. y  e.  J  ( P  e.  y  -> 
( y  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
14 bastg 16704 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  TopBases  ->  B  C_  ( topGen `
 B ) )
152, 14syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  ( topGen `  B ) )
1615, 1sseqtr4d 3215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  J )
1716sseld 3179 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  ->  y  e.  J ) )
1817imim1d 69 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  J  ->  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) ) )  ->  (
y  e.  B  -> 
( P  e.  y  ->  ( y  i^i 
S )  =/=  (/) ) ) ) )
1918ralimdv2 2623 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  A. y  e.  B  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
20 eleq2 2344 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  ( P  e.  y  <->  P  e.  x ) )
21 ineq1 3363 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
y  i^i  S )  =  ( x  i^i 
S ) )
2221neeq1d 2459 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  i^i  S
)  =/=  (/)  <->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
2320, 22imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
( P  e.  y  ->  ( y  i^i 
S )  =/=  (/) )  <->  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
2423cbvralv 2764 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) )  <->  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )
2519, 24syl6ib 217 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
26 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  P  e.  y
) )  ->  y  e.  J )
271ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  P  e.  y
) )  ->  J  =  ( topGen `  B
) )
2826, 27eleqtrd 2359 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  P  e.  y
) )  ->  y  e.  ( topGen `  B )
)
29 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  P  e.  y
) )  ->  P  e.  y )
30 tg2 16703 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( topGen `  B )  /\  P  e.  y )  ->  E. z  e.  B  ( P  e.  z  /\  z  C_  y ) )
3128, 29, 30syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  P  e.  y
) )  ->  E. z  e.  B  ( P  e.  z  /\  z  C_  y ) )
32 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  z ) )
33 ineq1 3363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
x  i^i  S )  =  ( z  i^i 
S ) )
3433neeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  i^i  S
)  =/=  (/)  <->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) ) )
3532, 34imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  <->  ( P  e.  z  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
3635rspccva 2883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S
)  =/=  (/) )  /\  z  e.  B )  ->  ( P  e.  z  ->  ( z  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
3736imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  /\  z  e.  B )  /\  P  e.  z
)  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) )
38 ssdisj 3504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  C_  y  /\  ( y  i^i  S
)  =  (/) )  -> 
( z  i^i  S
)  =  (/) )
3938ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  y  ->  (
( y  i^i  S
)  =  (/)  ->  (
z  i^i  S )  =  (/) ) )
4039necon3d 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  y  ->  (
( z  i^i  S
)  =/=  (/)  ->  (
y  i^i  S )  =/=  (/) ) )
4137, 40syl5com 26 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  /\  z  e.  B )  /\  P  e.  z
)  ->  ( z  C_  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) ) )
4241exp31 587 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  (
z  e.  B  -> 
( P  e.  z  ->  ( z  C_  y  ->  ( y  i^i 
S )  =/=  (/) ) ) ) )
4342imp4a 572 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  (
z  e.  B  -> 
( ( P  e.  z  /\  z  C_  y )  ->  (
y  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
4443rexlimdv 2666 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  ( E. z  e.  B  ( P  e.  z  /\  z  C_  y )  ->  ( y  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
4544ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  P  e.  y
) )  ->  ( E. z  e.  B  ( P  e.  z  /\  z  C_  y )  ->  ( y  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
4631, 45mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  P  e.  y
) )  ->  (
y  i^i  S )  =/=  (/) )
4746exp43 595 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  -> 
( y  e.  J  ->  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i 
S )  =/=  (/) ) ) ) )
4847ralrimdv 2632 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) )  ->  A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
4925, 48impbid 183 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) )  <->  A. x  e.  B  ( P  e.  x  ->  ( x  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
5013, 49bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  A. x  e.  B  ( P  e.  x  -> 
( x  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   ` cfv 5255   topGenctg 13342   Topctop 16631   TopBasesctb 16635   clsccl 16755
This theorem is referenced by:  2ndcsep  17185  ptclsg  17309  qdensere  18279
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758
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