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Theorem elcncf2 18394
Description: Version of elcncf 18393 with arguments commuted. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
elcncf2  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, A    w, F, x, y, z    w, B, x, y, z

Proof of Theorem elcncf2
StepHypRef Expression
1 elcncf 18393 . 2  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
2 simplll 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  A  C_  CC )
3 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  x  e.  A )
42, 3sseldd 3181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  x  e.  CC )
5 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  w  e.  A )
62, 5sseldd 3181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  w  e.  CC )
74, 6abssubd 11935 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( abs `  ( x  -  w
) )  =  ( abs `  ( w  -  x ) ) )
87breq1d 4033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( ( abs `  ( x  -  w ) )  < 
z  <->  ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z ) )
9 simpllr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  B  C_  CC )
10 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  F : A
--> B )
11 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  B )
1210, 3, 11syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( F `  x )  e.  B
)
139, 12sseldd 3181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( F `  x )  e.  CC )
14 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : A --> B  /\  w  e.  A )  ->  ( F `  w
)  e.  B )
1510, 5, 14syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( F `  w )  e.  B
)
169, 15sseldd 3181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( F `  w )  e.  CC )
1713, 16abssubd 11935 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  w )
) )  =  ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x ) ) ) )
1817breq1d 4033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  w ) ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x ) ) )  <  y ) )
198, 18imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) )
2019anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A
--> B )  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A )  ->  (
( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) )
2120ralbidva 2559 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  <->  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) )
2221rexbidv 2564 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  w )
) )  <  y
)  <->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) )
2322ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) )
2423ralbidva 2559 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) )
2524pm5.32da 622 . 2  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  (
( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) )  <->  ( F : A
--> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
261, 25bitrd 244 1  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735    < clt 8867    - cmin 9037   RR+crp 10354   abscabs 11719   -cn->ccncf 18380
This theorem is referenced by:  cncfi  18398  cncffvrn  18402  abscncf  18405  recncf  18406  imcncf  18407  cjcncf  18408  mulc1cncf  18409  cncfco  18411  volcn  18961  ftc1a  19384  ulmcn  19776
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-abs 11721  df-cncf 18382
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