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Theorem elcncf2 18920
Description: Version of elcncf 18919 with arguments commuted. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
elcncf2  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, A    w, F, x, y, z    w, B, x, y, z

Proof of Theorem elcncf2
StepHypRef Expression
1 elcncf 18919 . 2  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
2 simplll 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  A  C_  CC )
3 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  x  e.  A )
42, 3sseldd 3349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  x  e.  CC )
5 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  w  e.  A )
62, 5sseldd 3349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  w  e.  CC )
74, 6abssubd 12255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( abs `  ( x  -  w
) )  =  ( abs `  ( w  -  x ) ) )
87breq1d 4222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( ( abs `  ( x  -  w ) )  < 
z  <->  ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z ) )
9 simpllr 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  B  C_  CC )
10 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  F : A
--> B )
1110, 3ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( F `  x )  e.  B
)
129, 11sseldd 3349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( F `  x )  e.  CC )
1310, 5ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( F `  w )  e.  B
)
149, 13sseldd 3349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( F `  w )  e.  CC )
1512, 14abssubd 12255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  w )
) )  =  ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x ) ) ) )
1615breq1d 4222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  w ) ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x ) ) )  <  y ) )
178, 16imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) )
1817anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A
--> B )  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A )  ->  (
( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) )
1918ralbidva 2721 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  <->  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) )
2019rexbidv 2726 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  w )
) )  <  y
)  <->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) )
2120ralbidv 2725 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) )
2221ralbidva 2721 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) )
2322pm5.32da 623 . 2  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  (
( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) )  <->  ( F : A
--> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
241, 23bitrd 245 1  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3320   class class class wbr 4212   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988    < clt 9120    - cmin 9291   RR+crp 10612   abscabs 12039   -cn->ccncf 18906
This theorem is referenced by:  cncfi  18924  cncffvrn  18928  abscncf  18931  recncf  18932  imcncf  18933  cjcncf  18934  mulc1cncf  18935  cncfco  18937  volcn  19498  ftc1a  19921  ulmcn  20315  ftc1anc  26288
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-2 10058  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-abs 12041  df-cncf 18908
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