MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eldifpw Unicode version

Theorem eldifpw 4582
Description: Membership in a power class difference. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
eldifpw.1  |-  C  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
eldifpw  |-  ( ( A  e.  ~P B  /\  -.  C  C_  B
)  ->  ( A  u.  C )  e.  ( ~P ( B  u.  C )  \  ~P B ) )

Proof of Theorem eldifpw
StepHypRef Expression
1 elpwi 3646 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P B  ->  A  C_  B )
2 unss1 3357 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A  u.  C )  C_  ( B  u.  C
) )
3 eldifpw.1 . . . . . . 7  |-  C  e. 
_V
4 unexg 4537 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ~P B  /\  C  e.  _V )  ->  ( A  u.  C )  e.  _V )
53, 4mpan2 652 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~P B  -> 
( A  u.  C
)  e.  _V )
6 elpwg 3645 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  C )  e.  _V  ->  (
( A  u.  C
)  e.  ~P ( B  u.  C )  <->  ( A  u.  C ) 
C_  ( B  u.  C ) ) )
75, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~P B  -> 
( ( A  u.  C )  e.  ~P ( B  u.  C
)  <->  ( A  u.  C )  C_  ( B  u.  C )
) )
82, 7syl5ibr 212 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P B  -> 
( A  C_  B  ->  ( A  u.  C
)  e.  ~P ( B  u.  C )
) )
91, 8mpd 14 . . 3  |-  ( A  e.  ~P B  -> 
( A  u.  C
)  e.  ~P ( B  u.  C )
)
10 elpwi 3646 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  C )  e.  ~P B  -> 
( A  u.  C
)  C_  B )
11 unss 3362 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  B  /\  C  C_  B )  <->  ( A  u.  C )  C_  B
)
12 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  B  /\  C  C_  B )  ->  C  C_  B )
1311, 12sylbir 204 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  C ) 
C_  B  ->  C  C_  B )
1410, 13syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  u.  C )  e.  ~P B  ->  C  C_  B )
1514con3i 127 . . 3  |-  ( -.  C  C_  B  ->  -.  ( A  u.  C
)  e.  ~P B
)
169, 15anim12i 549 . 2  |-  ( ( A  e.  ~P B  /\  -.  C  C_  B
)  ->  ( ( A  u.  C )  e.  ~P ( B  u.  C )  /\  -.  ( A  u.  C
)  e.  ~P B
) )
17 eldif 3175 . 2  |-  ( ( A  u.  C )  e.  ( ~P ( B  u.  C )  \  ~P B )  <->  ( ( A  u.  C )  e.  ~P ( B  u.  C )  /\  -.  ( A  u.  C
)  e.  ~P B
) )
1816, 17sylibr 203 1  |-  ( ( A  e.  ~P B  /\  -.  C  C_  B
)  ->  ( A  u.  C )  e.  ( ~P ( B  u.  C )  \  ~P B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-rex 2562  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-uni 3844
  Copyright terms: Public domain W3C validator