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Theorem eldifpw 4755
Description: Membership in a power class difference. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
eldifpw.1  |-  C  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
eldifpw  |-  ( ( A  e.  ~P B  /\  -.  C  C_  B
)  ->  ( A  u.  C )  e.  ( ~P ( B  u.  C )  \  ~P B ) )

Proof of Theorem eldifpw
StepHypRef Expression
1 elpwi 3807 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P B  ->  A  C_  B )
2 unss1 3516 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A  u.  C )  C_  ( B  u.  C
) )
3 eldifpw.1 . . . . . . 7  |-  C  e. 
_V
4 unexg 4710 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ~P B  /\  C  e.  _V )  ->  ( A  u.  C )  e.  _V )
53, 4mpan2 653 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~P B  -> 
( A  u.  C
)  e.  _V )
6 elpwg 3806 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  C )  e.  _V  ->  (
( A  u.  C
)  e.  ~P ( B  u.  C )  <->  ( A  u.  C ) 
C_  ( B  u.  C ) ) )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~P B  -> 
( ( A  u.  C )  e.  ~P ( B  u.  C
)  <->  ( A  u.  C )  C_  ( B  u.  C )
) )
82, 7syl5ibr 213 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P B  -> 
( A  C_  B  ->  ( A  u.  C
)  e.  ~P ( B  u.  C )
) )
91, 8mpd 15 . . 3  |-  ( A  e.  ~P B  -> 
( A  u.  C
)  e.  ~P ( B  u.  C )
)
10 elpwi 3807 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  C )  e.  ~P B  -> 
( A  u.  C
)  C_  B )
1110unssbd 3525 . . . 4  |-  ( ( A  u.  C )  e.  ~P B  ->  C  C_  B )
1211con3i 129 . . 3  |-  ( -.  C  C_  B  ->  -.  ( A  u.  C
)  e.  ~P B
)
139, 12anim12i 550 . 2  |-  ( ( A  e.  ~P B  /\  -.  C  C_  B
)  ->  ( ( A  u.  C )  e.  ~P ( B  u.  C )  /\  -.  ( A  u.  C
)  e.  ~P B
) )
14 eldif 3330 . 2  |-  ( ( A  u.  C )  e.  ( ~P ( B  u.  C )  \  ~P B )  <->  ( ( A  u.  C )  e.  ~P ( B  u.  C )  /\  -.  ( A  u.  C
)  e.  ~P B
) )
1513, 14sylibr 204 1  |-  ( ( A  e.  ~P B  /\  -.  C  C_  B
)  ->  ( A  u.  C )  e.  ( ~P ( B  u.  C )  \  ~P B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    u. cun 3318    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-rex 2711  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-uni 4016
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