Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldioph2 Unicode version

Theorem eldioph2 26841
Description: Construct a Diophantine set from a polynomial with witness variables drawn from any set whatsoever, via mzpcompact2 26830. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
eldioph2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  ( P `  u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N
) )
Distinct variable groups:    t, P, u    t, S, u    t, N, u

Proof of Theorem eldioph2
Dummy variables  a 
b  c  e  g  h  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mzpcompact2 26830 . . 3  |-  ( P  e.  (mzPoly `  S
)  ->  E. a  e.  Fin  E. b  e.  (mzPoly `  a )
( a  C_  S  /\  P  =  (
e  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( b `  ( e  |`  a ) ) ) ) )
213ad2ant3 978 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  E. a  e.  Fin  E. b  e.  (mzPoly `  a ) ( a 
C_  S  /\  P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) ) ) )
3 fveq1 5524 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) )  -> 
( P `  u
)  =  ( ( e  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( b `  ( e  |`  a ) ) ) `
 u ) )
43eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) )  -> 
( ( P `  u )  =  0  <-> 
( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) ) `  u )  =  0 ) )
54anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) )  -> 
( ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( P `  u )  =  0 )  <->  ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) ) )
65rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) )  -> 
( E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( P `  u )  =  0 )  <->  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) ) )
76abbidv 2397 . . . . . 6  |-  ( P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  ( P `  u )  =  0 ) }  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) } )
87ad2antll 709 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  (
a  C_  S  /\  P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( P `  u )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) } )
9 simplll 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  N  e.  NN0 )
10 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  a  e.  Fin )
11 fzfi 11034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
12 unfi 7124 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  e.  Fin )  ->  ( a  u.  (
1 ... N ) )  e.  Fin )
1310, 11, 12sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  ( a  u.  ( 1 ... N
) )  e.  Fin )
14 ssun2 3339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... N )  C_  ( a  u.  (
1 ... N ) )
1514a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  ( 1 ... N )  C_  ( a  u.  (
1 ... N ) ) )
16 eldioph2lem1 26839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( a  u.  (
1 ... N ) )  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  ( a  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  E. c  e.  ( ZZ>= `  N ) E. d  e.  _V  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
179, 13, 15, 16syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  E. c  e.  ( ZZ>= `  N ) E. d  e.  _V  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
18 f1ococnv2 5500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  (
1 ... N ) )  ->  ( d  o.  `' d )  =  (  _I  |`  (
a  u.  ( 1 ... N ) ) ) )
1918ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
d  o.  `' d )  =  (  _I  |`  ( a  u.  (
1 ... N ) ) ) )
2019reseq1d 4954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( d  o.  `' d )  |`  a
)  =  ( (  _I  |`  ( a  u.  ( 1 ... N
) ) )  |`  a ) )
21 ssun1 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  a  C_  ( a  u.  (
1 ... N ) )
22 resabs1 4984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( a 
C_  ( a  u.  ( 1 ... N
) )  ->  (
(  _I  |`  (
a  u.  ( 1 ... N ) ) )  |`  a )  =  (  _I  |`  a
) )
2321, 22ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (  _I  |`  ( a  u.  ( 1 ... N
) ) )  |`  a )  =  (  _I  |`  a )
2420, 23syl6req 2332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (  _I  |`  a )  =  ( ( d  o.  `' d )  |`  a ) )
25 resco 5177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( d  o.  `' d )  |`  a )  =  ( d  o.  ( `' d  |`  a ) )
2624, 25syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (  _I  |`  a )  =  ( d  o.  ( `' d  |`  a ) ) )
2726adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  (  _I  |`  a )  =  ( d  o.  ( `' d  |`  a ) ) )
2827coeq2d 4846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  (
e  o.  (  _I  |`  a ) )  =  ( e  o.  (
d  o.  ( `' d  |`  a )
) ) )
29 coires1 5190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( e  o.  (  _I  |`  a
) )  =  ( e  |`  a )
30 coass 5191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( e  o.  d )  o.  ( `' d  |`  a ) )  =  ( e  o.  (
d  o.  ( `' d  |`  a )
) )
3130eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( e  o.  ( d  o.  ( `' d  |`  a ) ) )  =  ( ( e  o.  d )  o.  ( `' d  |`  a ) )
3228, 29, 313eqtr3g 2338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  (
e  |`  a )  =  ( ( e  o.  d )  o.  ( `' d  |`  a ) ) )
3332fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  (
b `  ( e  |`  a ) )  =  ( b `  (
( e  o.  d
)  o.  ( `' d  |`  a )
) ) )
34 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1 ... c )  e. 
_V
3534a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  (
1 ... c )  e. 
_V )
36 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )
37 f1of1 5471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  (
1 ... N ) )  ->  d : ( 1 ... c )
-1-1-> ( a  u.  (
1 ... N ) ) )
3837ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  d : ( 1 ... c ) -1-1-> ( a  u.  ( 1 ... N ) ) )
39 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  a  C_  S )
40 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  ->  ( 1 ... N )  C_  S )
4140ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  ( 1 ... N )  C_  S )
4239, 41unssd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  ( a  u.  ( 1 ... N
) )  C_  S
)
4342ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
a  u.  ( 1 ... N ) ) 
C_  S )
44 f1ss 5442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( d : ( 1 ... c ) -1-1-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( a  u.  ( 1 ... N
) )  C_  S
)  ->  d :
( 1 ... c
) -1-1-> S )
4538, 43, 44syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  d : ( 1 ... c ) -1-1-> S )
46 f1f 5437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-> S  -> 
d : ( 1 ... c ) --> S )
4745, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  d : ( 1 ... c ) --> S )
4847adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  d : ( 1 ... c ) --> S )
49 mapco2g 26790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( 1 ... c
)  e.  _V  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S )  /\  d : ( 1 ... c ) --> S )  ->  ( e  o.  d )  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c ) ) )
5035, 36, 48, 49syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  (
e  o.  d )  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c
) ) )
51 coeq1 4841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( h  =  ( e  o.  d )  ->  (
h  o.  ( `' d  |`  a )
)  =  ( ( e  o.  d )  o.  ( `' d  |`  a ) ) )
5251fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( h  =  ( e  o.  d )  ->  (
b `  ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) )  =  ( b `  ( ( e  o.  d )  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) )
53 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c
) )  |->  ( b `
 ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) )  =  ( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c
) )  |->  ( b `
 ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) )
54 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b `
 ( ( e  o.  d )  o.  ( `' d  |`  a ) ) )  e.  _V
5552, 53, 54fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( e  o.  d )  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c
) )  ->  (
( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c ) ) 
|->  ( b `  (
h  o.  ( `' d  |`  a )
) ) ) `  ( e  o.  d
) )  =  ( b `  ( ( e  o.  d )  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) )
5650, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  (
( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c ) ) 
|->  ( b `  (
h  o.  ( `' d  |`  a )
) ) ) `  ( e  o.  d
) )  =  ( b `  ( ( e  o.  d )  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) )
5733, 56eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  /\  e  e.  ( ZZ  ^m  S
) )  ->  (
b `  ( e  |`  a ) )  =  ( ( h  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... c ) ) 
|->  ( b `  (
h  o.  ( `' d  |`  a )
) ) ) `  ( e  o.  d
) ) )
5857mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( b `  ( e  |`  a ) ) )  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( ( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c
) )  |->  ( b `
 ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) ) `  ( e  o.  d ) ) ) )
5958fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( b `  (
e  |`  a ) ) ) `  u )  =  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( ( h  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... c ) )  |->  ( b `  ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) ) `  ( e  o.  d ) ) ) `  u ) )
6059eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) ) `  u )  =  0  <-> 
( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( ( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c
) )  |->  ( b `
 ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) ) `  ( e  o.  d ) ) ) `  u )  =  0 ) )
6160anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 )  <->  ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( ( h  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... c ) ) 
|->  ( b `  (
h  o.  ( `' d  |`  a )
) ) ) `  ( e  o.  d
) ) ) `  u )  =  0 ) ) )
6261rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( b `  (
e  |`  a ) ) ) `  u )  =  0 )  <->  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( ( h  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... c ) )  |->  ( b `  ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) ) `  ( e  o.  d ) ) ) `  u )  =  0 ) ) )
6362abbidv 2397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( e  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( ( h  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... c ) ) 
|->  ( b `  (
h  o.  ( `' d  |`  a )
) ) ) `  ( e  o.  d
) ) ) `  u )  =  0 ) } )
64 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  ->  S  e.  _V )
6564ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  S  e.  _V )
66 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
d  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )
67 diophrw 26838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  _V  /\  d : ( 1 ... c ) -1-1-> S  /\  ( d  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( ( h  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... c ) )  |->  ( b `  ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) ) `  ( e  o.  d ) ) ) `  u )  =  0 ) }  =  { t  |  E. g  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... c ) ) ( t  =  ( g  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c
) )  |->  ( b `
 ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) ) `  g )  =  0 ) } )
6865, 45, 66, 67syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( ( h  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... c ) )  |->  ( b `  ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) ) `  ( e  o.  d ) ) ) `  u )  =  0 ) }  =  { t  |  E. g  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... c ) ) ( t  =  ( g  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c
) )  |->  ( b `
 ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) ) `  g )  =  0 ) } )
6963, 68eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  =  { t  |  E. g  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... c
) ) ( t  =  ( g  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c ) ) 
|->  ( b `  (
h  o.  ( `' d  |`  a )
) ) ) `  g )  =  0 ) } )
70 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  ->  N  e.  NN0 )
7170ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
72 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  c  e.  ( ZZ>= `  N )
)
7334a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
1 ... c )  e. 
_V )
74 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  b  e.  (mzPoly `  a ) )
7574ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  b  e.  (mzPoly `  a )
)
76 f1ocnv 5485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  (
1 ... N ) )  ->  `' d : ( a  u.  (
1 ... N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... c ) )
77 f1of 5472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' d : ( a  u.  ( 1 ... N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... c )  ->  `' d : ( a  u.  ( 1 ... N ) ) --> ( 1 ... c
) )
7876, 77syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  (
1 ... N ) )  ->  `' d : ( a  u.  (
1 ... N ) ) --> ( 1 ... c
) )
79 fssres 5408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' d : ( a  u.  ( 1 ... N ) ) --> ( 1 ... c
)  /\  a  C_  ( a  u.  (
1 ... N ) ) )  ->  ( `' d  |`  a ) : a --> ( 1 ... c ) )
8078, 21, 79sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  (
1 ... N ) )  ->  ( `' d  |`  a ) : a --> ( 1 ... c
) )
8180ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( `' d  |`  a ) : a --> ( 1 ... c ) )
82 mzprename 26827 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... c
)  e.  _V  /\  b  e.  (mzPoly `  a
)  /\  ( `' d  |`  a ) : a --> ( 1 ... c ) )  -> 
( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c ) ) 
|->  ( b `  (
h  o.  ( `' d  |`  a )
) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... c ) ) )
8373, 75, 81, 82syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  (
h  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... c ) )  |->  ( b `  ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... c
) ) )
84 eldioph 26837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  (
h  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... c ) )  |->  ( b `  ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... c
) ) )  ->  { t  |  E. g  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... c
) ) ( t  =  ( g  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c ) ) 
|->  ( b `  (
h  o.  ( `' d  |`  a )
) ) ) `  g )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
8571, 72, 83, 84syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { t  |  E. g  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... c ) ) ( t  =  ( g  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( h  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... c
) )  |->  ( b `
 ( h  o.  ( `' d  |`  a ) ) ) ) `  g )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N
) )
8669, 85eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  /\  (
c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  /\  ( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
8786ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  (
1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  /\  ( c  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  d  e.  _V ) )  ->  (
( d : ( 1 ... c ) -1-1-onto-> ( a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) ) )
8887rexlimdvva 2674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  ( E. c  e.  ( ZZ>= `  N ) E. d  e.  _V  ( d : ( 1 ... c
)
-1-1-onto-> ( a  u.  (
1 ... N ) )  /\  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) ) )
8917, 88mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  /\  a  C_  S
)  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
9089exp31 587 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  ->  ( (
a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a
) )  ->  (
a  C_  S  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) ) ) )
91903adant3 975 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S ) )  -> 
( ( a  e. 
Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) )  ->  ( a  C_  S  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) ) ) )
9291imp31 421 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  a  C_  S )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
9392adantrr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  (
a  C_  S  /\  P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  |`  a ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
948, 93eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N )  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S )
)  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a )
) )  /\  (
a  C_  S  /\  P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( P `  u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
9594ex 423 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S ) )  /\  ( a  e.  Fin  /\  b  e.  (mzPoly `  a ) ) )  ->  ( ( a 
C_  S  /\  P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( P `  u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) ) )
9695rexlimdvva 2674 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S ) )  -> 
( E. a  e. 
Fin  E. b  e.  (mzPoly `  a ) ( a 
C_  S  /\  P  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  |`  a
) ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( P `  u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) ) )
972, 96mpd 14 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )  /\  P  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  ( P `  u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152    e. cmpt 4077    _I cid 4304   `'ccnv 4688    |` cres 4691    o. ccom 4693   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   0cc0 8737   1c1 8738   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782  mzPolycmzp 26800  Diophcdioph 26834
This theorem is referenced by:  eldioph2b  26842  diophin  26852  diophun  26853
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-hash 11338  df-mzpcl 26801  df-mzp 26802  df-dioph 26835
  Copyright terms: Public domain W3C validator