Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldioph2b Structured version   Unicode version

Theorem eldioph2b 26835
 Description: While Diophantine sets were defined to have a finite number of witness variables consequtively following the observable variables, this is not necessary; they can equivalently be taken to use any witness set . For instance, in diophin 26845 we use this to take the two input sets to have disjoint witness sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eldioph2b Dioph mzPoly
Distinct variable groups:   ,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem eldioph2b
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldiophb 26829 . . 3 Dioph mzPoly
2 simplll 736 . . . . . . . . 9 mzPoly
3 simplrl 738 . . . . . . . . 9 mzPoly
4 simplrr 739 . . . . . . . . 9 mzPoly
5 simprl 734 . . . . . . . . 9 mzPoly
6 eldioph2lem2 26833 . . . . . . . . 9
72, 3, 4, 5, 6syl22anc 1186 . . . . . . . 8 mzPoly
8 rexv 2972 . . . . . . . 8
97, 8sylibr 205 . . . . . . 7 mzPoly
10 simp-5r 747 . . . . . . . . . . 11 mzPoly
11 simprr 735 . . . . . . . . . . . 12 mzPoly mzPoly
1211ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11 mzPoly mzPoly
13 simprl 734 . . . . . . . . . . . 12 mzPoly
14 f1f 5642 . . . . . . . . . . . 12
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . 11 mzPoly
16 mzprename 26820 . . . . . . . . . . 11 mzPoly mzPoly
1710, 12, 15, 16syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10 mzPoly mzPoly
18 simprr 735 . . . . . . . . . . 11 mzPoly
19 diophrw 26831 . . . . . . . . . . . 12
2019eqcomd 2443 . . . . . . . . . . 11
2110, 13, 18, 20syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10 mzPoly
22 fveq1 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2322eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . . 15
2423anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . 14
2524rexbidv 2728 . . . . . . . . . . . . 13
2625abbidv 2552 . . . . . . . . . . . 12
2726eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . 11
2827rspcev 3054 . . . . . . . . . 10 mzPoly mzPoly
2917, 21, 28syl2anc 644 . . . . . . . . 9 mzPoly mzPoly
3029ex 425 . . . . . . . 8 mzPoly mzPoly
3130rexlimdva 2832 . . . . . . 7 mzPoly mzPoly
329, 31mpd 15 . . . . . 6 mzPoly mzPoly
33 eqeq1 2444 . . . . . . 7
3433rexbidv 2728 . . . . . 6 mzPoly mzPoly
3532, 34syl5ibrcom 215 . . . . 5 mzPoly mzPoly
3635rexlimdvva 2839 . . . 4 mzPoly mzPoly
3736adantld 455 . . 3 mzPoly mzPoly
381, 37syl5bi 210 . 2 Dioph mzPoly
39 simpr 449 . . . . 5 mzPoly
40 simplll 736 . . . . . . 7 mzPoly
41 simpllr 737 . . . . . . 7 mzPoly
42 simplrr 739 . . . . . . 7 mzPoly
43 simpr 449 . . . . . . 7 mzPoly mzPoly
44 eldioph2 26834 . . . . . . 7 mzPoly Dioph
4540, 41, 42, 43, 44syl121anc 1190 . . . . . 6 mzPoly Dioph
4645adantr 453 . . . . 5 mzPoly Dioph
4739, 46eqeltrd 2512 . . . 4 mzPoly Dioph
4847ex 425 . . 3 mzPoly Dioph
4948rexlimdva 2832 . 2 mzPoly Dioph
5038, 49impbid 185 1 Dioph mzPoly
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726  cab 2424  wrex 2708  cvv 2958   wss 3322   cmpt 4269   cid 4496   cres 4883   ccom 4885  wf 5453  wf1 5454  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmap 7021  cfn 7112  cc0 8995  c1 8996  cn0 10226  cz 10287  cuz 10493  cfz 11048  mzPolycmzp 26793  Diophcdioph 26827 This theorem is referenced by:  eldioph3b  26837  diophin  26845  diophun  26846  eldioph4b  26886 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-hash 11624  df-mzpcl 26794  df-mzp 26795  df-dioph 26828
 Copyright terms: Public domain W3C validator