Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldioph2b Unicode version

Theorem eldioph2b 26945
Description: While Diophantine sets were defined to have a finite number of witness variables consequtively following the observable variables, this is not necessary; they can equivalently be taken to use any witness set  ( S  \ 
( 1 ... N
) ). For instance, in diophin 26955 we use this to take the two input sets to have disjoint witness sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eldioph2b  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  -> 
( A  e.  (Dioph `  N )  <->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
Distinct variable groups:    A, p    u, N, t, p    u, S, t, p
Allowed substitution hints:    A( u, t)

Proof of Theorem eldioph2b
Dummy variables  a 
b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldiophb 26939 . . 3  |-  ( A  e.  (Dioph `  N
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  E. a  e.  ( ZZ>= `  N ) E. b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) A  =  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a
) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
b `  d )  =  0 ) } ) )
2 simplll 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
3 simplrl 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  -.  S  e.  Fin )
4 simplrr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  ( 1 ... N )  C_  S
)
5 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  a  e.  (
ZZ>= `  N ) )
6 eldioph2lem2 26943 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\ 
-.  S  e.  Fin )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  S  /\  a  e.  (
ZZ>= `  N ) ) )  ->  E. c
( c : ( 1 ... a )
-1-1-> S  /\  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
72, 3, 4, 5, 6syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  E. c ( c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )
8 rexv 2815 . . . . . . . 8  |-  ( E. c  e.  _V  (
c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  <->  E. c ( c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )
97, 8sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  E. c  e.  _V  ( c : ( 1 ... a )
-1-1-> S  /\  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
10 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  ->  S  e.  _V )
1110ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  (
ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
1 ... a ) ) ) )  /\  c  e.  _V )  /\  (
c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  S  e.  _V )
12 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) )
1312ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  (
ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
1 ... a ) ) ) )  /\  c  e.  _V )  /\  (
c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a ) ) )
14 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  (
ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
1 ... a ) ) ) )  /\  c  e.  _V )  /\  (
c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  c : ( 1 ... a ) -1-1-> S )
15 f1f 5453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  -> 
c : ( 1 ... a ) --> S )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  (
ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
1 ... a ) ) ) )  /\  c  e.  _V )  /\  (
c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  c : ( 1 ... a ) --> S )
17 mzprename 26930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  _V  /\  b  e.  (mzPoly `  (
1 ... a ) )  /\  c : ( 1 ... a ) --> S )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( b `  ( e  o.  c ) ) )  e.  (mzPoly `  S ) )
1811, 13, 16, 17syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  (
ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
1 ... a ) ) ) )  /\  c  e.  _V )  /\  (
c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( b `  ( e  o.  c ) ) )  e.  (mzPoly `  S ) )
19 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  (
ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
1 ... a ) ) ) )  /\  c  e.  _V )  /\  (
c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
c  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )
20 diophrw 26941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  _V  /\  c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  o.  c ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  =  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a
) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
b `  d )  =  0 ) } )
2120eqcomd 2301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  _V  /\  c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  o.  c ) ) ) `
 u )  =  0 ) } )
2211, 14, 19, 21syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  (
ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
1 ... a ) ) ) )  /\  c  e.  _V )  /\  (
c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  o.  c ) ) ) `
 u )  =  0 ) } )
23 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  o.  c
) ) )  -> 
( p `  u
)  =  ( ( e  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( b `  ( e  o.  c ) ) ) `  u ) )
2423eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  o.  c
) ) )  -> 
( ( p `  u )  =  0  <-> 
( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  o.  c
) ) ) `  u )  =  0 ) )
2524anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  o.  c
) ) )  -> 
( ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 )  <->  ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  o.  c ) ) ) `
 u )  =  0 ) ) )
2625rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  o.  c
) ) )  -> 
( E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 )  <->  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  o.  c ) ) ) `
 u )  =  0 ) ) )
2726abbidv 2410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  o.  c
) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) }  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  o.  c ) ) ) `
 u )  =  0 ) } )
2827eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  o.  c
) ) )  -> 
( { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  <->  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  o.  c ) ) ) `
 u )  =  0 ) } ) )
2928rspcev 2897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( b `  (
e  o.  c ) ) )  e.  (mzPoly `  S )  /\  {
t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  o.  c ) ) ) `
 u )  =  0 ) } )  ->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } )
3018, 22, 29syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  (
ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
1 ... a ) ) ) )  /\  c  e.  _V )  /\  (
c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a
) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
b `  d )  =  0 ) }  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } )
3130ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e. 
_V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  /\  c  e.  _V )  ->  ( ( c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a
) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
b `  d )  =  0 ) }  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
3231rexlimdva 2680 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  ( E. c  e.  _V  ( c : ( 1 ... a
) -1-1-> S  /\  (
c  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a
) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
b `  d )  =  0 ) }  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
339, 32mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } )
34 eqeq1 2302 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  ->  ( A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  <->  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
3534rexbidv 2577 . . . . . 6  |-  ( A  =  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  ->  ( E. p  e.  (mzPoly `  S ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) }  <->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
3633, 35syl5ibrcom 213 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  ( A  =  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a
) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
b `  d )  =  0 ) }  ->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) } ) )
3736rexlimdvva 2687 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  -> 
( E. a  e.  ( ZZ>= `  N ) E. b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) A  =  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a
) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
b `  d )  =  0 ) }  ->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) } ) )
3837adantld 453 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  -> 
( ( N  e. 
NN0  /\  E. a  e.  ( ZZ>= `  N ) E. b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) A  =  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a
) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
b `  d )  =  0 ) } )  ->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
391, 38syl5bi 208 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  -> 
( A  e.  (Dioph `  N )  ->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
40 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e. 
_V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  /\  A  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } )  ->  A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } )
41 simplll 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  N  e.  NN0 )
42 simpllr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  S  e.  _V )
43 simplrr 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  ( 1 ... N )  C_  S
)
44 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  p  e.  (mzPoly `  S ) )
45 eldioph2 26944 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N
) )
4641, 42, 43, 44, 45syl121anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
4746adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e. 
_V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  /\  A  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N
) )
4840, 47eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e. 
_V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  /\  A  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } )  ->  A  e.  (Dioph `  N
) )
4948ex 423 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  ( A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) }  ->  A  e.  (Dioph `  N ) ) )
5049rexlimdva 2680 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  -> 
( E. p  e.  (mzPoly `  S ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  ->  A  e.  (Dioph `  N )
) )
5139, 50impbid 183 1  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  -> 
( A  e.  (Dioph `  N )  <->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165    e. cmpt 4093    _I cid 4320    |` cres 4707    o. ccom 4709   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   Fincfn 6879   0cc0 8753   1c1 8754   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798  mzPolycmzp 26903  Diophcdioph 26937
This theorem is referenced by:  eldioph3b  26947  diophin  26955  diophun  26956  eldioph4b  26997
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354  df-mzpcl 26904  df-mzp 26905  df-dioph 26938
  Copyright terms: Public domain W3C validator