Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldioph2b Unicode version

Theorem eldioph2b 26512
Description: While Diophantine sets were defined to have a finite number of witness variables consequtively following the observable variables, this is not necessary; they can equivalently be taken to use any witness set  ( S  \ 
( 1 ... N
) ). For instance, in diophin 26522 we use this to take the two input sets to have disjoint witness sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eldioph2b  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  -> 
( A  e.  (Dioph `  N )  <->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
Distinct variable groups:    A, p    u, N, t, p    u, S, t, p
Allowed substitution hints:    A( u, t)

Proof of Theorem eldioph2b
Dummy variables  a 
b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldiophb 26506 . . 3  |-  ( A  e.  (Dioph `  N
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  E. a  e.  ( ZZ>= `  N ) E. b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) A  =  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a
) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
b `  d )  =  0 ) } ) )
2 simplll 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
3 simplrl 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  -.  S  e.  Fin )
4 simplrr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  ( 1 ... N )  C_  S
)
5 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  a  e.  (
ZZ>= `  N ) )
6 eldioph2lem2 26510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\ 
-.  S  e.  Fin )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  S  /\  a  e.  (
ZZ>= `  N ) ) )  ->  E. c
( c : ( 1 ... a )
-1-1-> S  /\  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
72, 3, 4, 5, 6syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  E. c ( c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )
8 rexv 2913 . . . . . . . 8  |-  ( E. c  e.  _V  (
c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  <->  E. c ( c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )
97, 8sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  E. c  e.  _V  ( c : ( 1 ... a )
-1-1-> S  /\  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
10 simp-5r 746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  (
ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
1 ... a ) ) ) )  /\  c  e.  _V )  /\  (
c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  S  e.  _V )
11 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) )
1211ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  (
ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
1 ... a ) ) ) )  /\  c  e.  _V )  /\  (
c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a ) ) )
13 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  (
ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
1 ... a ) ) ) )  /\  c  e.  _V )  /\  (
c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  c : ( 1 ... a ) -1-1-> S )
14 f1f 5579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  -> 
c : ( 1 ... a ) --> S )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  (
ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
1 ... a ) ) ) )  /\  c  e.  _V )  /\  (
c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  c : ( 1 ... a ) --> S )
16 mzprename 26497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  _V  /\  b  e.  (mzPoly `  (
1 ... a ) )  /\  c : ( 1 ... a ) --> S )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( b `  ( e  o.  c ) ) )  e.  (mzPoly `  S ) )
1710, 12, 15, 16syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  (
ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
1 ... a ) ) ) )  /\  c  e.  _V )  /\  (
c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
e  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( b `  ( e  o.  c ) ) )  e.  (mzPoly `  S ) )
18 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  (
ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
1 ... a ) ) ) )  /\  c  e.  _V )  /\  (
c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  (
c  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )
19 diophrw 26508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  _V  /\  c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  o.  c ) ) ) `
 u )  =  0 ) }  =  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a
) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
b `  d )  =  0 ) } )
2019eqcomd 2392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  _V  /\  c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  o.  c ) ) ) `
 u )  =  0 ) } )
2110, 13, 18, 20syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  (
ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
1 ... a ) ) ) )  /\  c  e.  _V )  /\  (
c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  o.  c ) ) ) `
 u )  =  0 ) } )
22 fveq1 5667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  o.  c
) ) )  -> 
( p `  u
)  =  ( ( e  e.  ( ZZ 
^m  S )  |->  ( b `  ( e  o.  c ) ) ) `  u ) )
2322eqeq1d 2395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  o.  c
) ) )  -> 
( ( p `  u )  =  0  <-> 
( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  o.  c
) ) ) `  u )  =  0 ) )
2423anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  o.  c
) ) )  -> 
( ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 )  <->  ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  o.  c ) ) ) `
 u )  =  0 ) ) )
2524rexbidv 2670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  o.  c
) ) )  -> 
( E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 )  <->  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  o.  c ) ) ) `
 u )  =  0 ) ) )
2625abbidv 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  o.  c
) ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) }  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  o.  c ) ) ) `
 u )  =  0 ) } )
2726eqeq2d 2398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  ( e  e.  ( ZZ  ^m  S
)  |->  ( b `  ( e  o.  c
) ) )  -> 
( { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  <->  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  o.  c ) ) ) `
 u )  =  0 ) } ) )
2827rspcev 2995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S ) 
|->  ( b `  (
e  o.  c ) ) )  e.  (mzPoly `  S )  /\  {
t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( ( e  e.  ( ZZ  ^m  S )  |->  ( b `
 ( e  o.  c ) ) ) `
 u )  =  0 ) } )  ->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } )
2917, 21, 28syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  /\  ( a  e.  (
ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  (
1 ... a ) ) ) )  /\  c  e.  _V )  /\  (
c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a
) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
b `  d )  =  0 ) }  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } )
3029ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e. 
_V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  /\  c  e.  _V )  ->  ( ( c : ( 1 ... a ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a
) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
b `  d )  =  0 ) }  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
3130rexlimdva 2773 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  ( E. c  e.  _V  ( c : ( 1 ... a
) -1-1-> S  /\  (
c  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a
) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
b `  d )  =  0 ) }  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
329, 31mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } )
33 eqeq1 2393 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  ->  ( A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  <->  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
3433rexbidv 2670 . . . . . 6  |-  ( A  =  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  ->  ( E. p  e.  (mzPoly `  S ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) }  <->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... a ) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( b `  d )  =  0 ) }  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
3532, 34syl5ibrcom 214 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  ( a  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) ) )  ->  ( A  =  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a
) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
b `  d )  =  0 ) }  ->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) } ) )
3635rexlimdvva 2780 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  -> 
( E. a  e.  ( ZZ>= `  N ) E. b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) A  =  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a
) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
b `  d )  =  0 ) }  ->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) } ) )
3736adantld 454 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  -> 
( ( N  e. 
NN0  /\  E. a  e.  ( ZZ>= `  N ) E. b  e.  (mzPoly `  ( 1 ... a
) ) A  =  { t  |  E. d  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... a
) ) ( t  =  ( d  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
b `  d )  =  0 ) } )  ->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
381, 37syl5bi 209 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  -> 
( A  e.  (Dioph `  N )  ->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
39 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e. 
_V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  /\  A  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } )  ->  A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } )
40 simplll 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  N  e.  NN0 )
41 simpllr 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  S  e.  _V )
42 simplrr 738 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  ( 1 ... N )  C_  S
)
43 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  p  e.  (mzPoly `  S ) )
44 eldioph2 26511 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( S  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N
) )
4540, 41, 42, 43, 44syl121anc 1189 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N ) )
4645adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e. 
_V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  /\  A  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } )  ->  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  N
) )
4739, 46eqeltrd 2461 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e. 
_V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  /\  A  =  {
t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S
) ( t  =  ( u  |`  (
1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } )  ->  A  e.  (Dioph `  N
) )
4847ex 424 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  S )
)  /\  p  e.  (mzPoly `  S ) )  ->  ( A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) }  ->  A  e.  (Dioph `  N ) ) )
4948rexlimdva 2773 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  -> 
( E. p  e.  (mzPoly `  S ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) }  ->  A  e.  (Dioph `  N )
) )
5038, 49impbid 184 1  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  S  e.  _V )  /\  ( -.  S  e. 
Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  S ) )  -> 
( A  e.  (Dioph `  N )  <->  E. p  e.  (mzPoly `  S ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  S ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2373   E.wrex 2650   _Vcvv 2899    C_ wss 3263    e. cmpt 4207    _I cid 4434    |` cres 4820    o. ccom 4822   -->wf 5390   -1-1->wf1 5391   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    ^m cmap 6954   Fincfn 7045   0cc0 8923   1c1 8924   NN0cn0 10153   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   ...cfz 10975  mzPolycmzp 26470  Diophcdioph 26504
This theorem is referenced by:  eldioph3b  26514  diophin  26522  diophun  26523  eldioph4b  26563
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-hash 11546  df-mzpcl 26471  df-mzp 26472  df-dioph 26505
  Copyright terms: Public domain W3C validator