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Theorem eldioph2lem1 26511
Description: Lemma for eldioph2 26513. Construct necessary renaming function for one direction. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eldioph2lem1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  E. d  e.  ( ZZ>= `  N ) E. e  e.  _V  ( e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, d,
e    N, d, e

Proof of Theorem eldioph2lem1
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0re 10164 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
213ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  N  e.  RR )
32recnd 9049 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  N  e.  CC )
4 ax-1cn 8983 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
5 addcom 9186 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( N  +  1 )  =  ( 1  +  N ) )
63, 4, 5sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( N  +  1 )  =  ( 1  +  N ) )
7 diffi 7277 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  \  ( 1 ... N ) )  e. 
Fin )
873ad2ant2 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( A  \  ( 1 ... N ) )  e. 
Fin )
9 fzfid 11241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
10 incom 3478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )
11 disjdif 3645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  ( A  \ 
( 1 ... N
) ) )  =  (/)
1210, 11eqtri 2409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/)
1312a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( A  \  (
1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/) )
14 hashun 11585 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  (
1 ... N ) )  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  e. 
Fin  /\  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N
) )  =  (/) )  ->  ( # `  (
( A  \  (
1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) ) )  =  ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  ( # `  ( 1 ... N
) ) ) )
158, 9, 13, 14syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( ( A 
\  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N
) ) )  =  ( ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )  +  ( # `  (
1 ... N ) ) ) )
16 uncom 3436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  u.  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )
17 simp3 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
1 ... N )  C_  A )
18 undif 3653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  A  <->  ( (
1 ... N )  u.  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  =  A )
1917, 18sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( 1 ... N
)  u.  ( A 
\  ( 1 ... N ) ) )  =  A )
2016, 19syl5eq 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( A  \  (
1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  =  A )
2120fveq2d 5674 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( ( A 
\  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N
) ) )  =  ( # `  A
) )
22 hashfz1 11559 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
23223ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( 1 ... N ) )  =  N )
2423oveq2d 6038 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( # `  ( A 
\  ( 1 ... N ) ) )  +  ( # `  (
1 ... N ) ) )  =  ( (
# `  ( A  \  ( 1 ... N
) ) )  +  N ) )
2515, 21, 243eqtr3d 2429 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 A )  =  ( ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )  +  N ) )
266, 25oveq12d 6040 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  =  ( ( 1  +  N ) ... (
( # `  ( A 
\  ( 1 ... N ) ) )  +  N ) ) )
2726fveq2d 5674 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )  =  ( # `  (
( 1  +  N
) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) ) ) )
28 1z 10245 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
2928a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  1  e.  ZZ )
30 hashcl 11568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( A  \ 
( 1 ... N
) ) )  e. 
NN0 )
318, 30syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( A  \ 
( 1 ... N
) ) )  e. 
NN0 )
3231nn0zd 10307 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( A  \ 
( 1 ... N
) ) )  e.  ZZ )
33 nn0z 10238 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
34333ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  N  e.  ZZ )
35 fzen 11006 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( # `  ( A 
\  ( 1 ... N ) ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) )  ~~  ( ( 1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) ) )
3629, 32, 34, 35syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) )  ~~  ( ( 1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) ) )
3736ensymd 7096 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( 1  +  N
) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) )  ~~  ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) )
38 fzfi 11240 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) )  e.  Fin
39 fzfi 11240 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) )  e.  Fin
40 hashen 11560 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1  +  N ) ... (
( # `  ( A 
\  ( 1 ... N ) ) )  +  N ) )  e.  Fin  /\  (
1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) )  e.  Fin )  ->  ( ( # `  (
( 1  +  N
) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) ) )  =  (
# `  ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) )  <->  ( (
1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) )  ~~  ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) ) )
4138, 39, 40mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( (
# `  ( (
1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) ) )  =  (
# `  ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) )  <->  ( (
1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) )  ~~  ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) )
4237, 41sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( ( 1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )  +  N ) ) )  =  ( # `  ( 1 ... ( # `
 ( A  \ 
( 1 ... N
) ) ) ) ) )
43 hashfz1 11559 . . . . . 6  |-  ( (
# `  ( A  \  ( 1 ... N
) ) )  e. 
NN0  ->  ( # `  (
1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) )  =  (
# `  ( A  \  ( 1 ... N
) ) ) )
4431, 43syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) )  =  (
# `  ( A  \  ( 1 ... N
) ) ) )
4527, 42, 443eqtrd 2425 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )  =  ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) )
46 fzfi 11240 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) )  e.  Fin
47 hashen 11560 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) )  e.  Fin  /\  ( A  \  ( 1 ... N ) )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )  =  ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )  <-> 
( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) 
~~  ( A  \ 
( 1 ... N
) ) ) )
4846, 8, 47sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( # `  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )  =  ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )  <-> 
( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) 
~~  ( A  \ 
( 1 ... N
) ) ) )
4945, 48mpbid 202 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  ~~  ( A  \  (
1 ... N ) ) )
50 bren 7055 . . 3  |-  ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  ~~  ( A  \  (
1 ... N ) )  <->  E. a  a :
( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> ( A  \  ( 1 ... N ) ) )
5149, 50sylib 189 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  E. a 
a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )
52 simpl1 960 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
5352nn0zd 10307 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
54 simpl2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  A  e.  Fin )
55 hashcl 11568 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
5654, 55syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
5756nn0zd 10307 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( # `  A
)  e.  ZZ )
58 nn0addge2 10201 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( # `  ( A 
\  ( 1 ... N ) ) )  e.  NN0 )  ->  N  <_  ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) )
592, 31, 58syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  N  <_  ( ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )  +  N ) )
6059, 25breqtrrd 4181 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  N  <_  ( # `  A
) )
6160adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  N  <_  (
# `  A )
)
62 eluz2 10428 . . . 4  |-  ( (
# `  A )  e.  ( ZZ>= `  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ZZ  /\  N  <_  ( # `  A
) ) )
6353, 57, 61, 62syl3anbrc 1138 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= `  N ) )
64 vex 2904 . . . . 5  |-  a  e. 
_V
65 ovex 6047 . . . . . 6  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
66 resiexg 5130 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... N )  e.  _V  ->  (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  e. 
_V )
6765, 66ax-mp 8 . . . . 5  |-  (  _I  |`  ( 1 ... N
) )  e.  _V
6864, 67unex 4649 . . . 4  |-  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  e.  _V
6968a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  e.  _V )
70 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  a :
( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> ( A  \  ( 1 ... N ) ) )
71 f1oi 5655 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N )
7271a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
73 incom 3478 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  i^i  ( 1 ... N
) )  =  ( ( 1 ... N
)  i^i  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )
7452nn0red 10209 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  N  e.  RR )
7574ltp1d 9875 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
76 fzdisj 11012 . . . . . . 7  |-  ( N  <  ( N  + 
1 )  ->  (
( 1 ... N
)  i^i  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )  =  (/) )
7775, 76syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
1 ... N )  i^i  ( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) )  =  (/) )
7873, 77syl5eq 2433 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  i^i  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
7912a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
80 f1oun 5636 . . . . 5  |-  ( ( ( a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> ( A 
\  ( 1 ... N ) )  /\  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N
) )  /\  (
( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) )  i^i  (
1 ... N ) )  =  (/)  /\  (
( A  \  (
1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/) ) )  ->  (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) ) : ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) )  u.  (
1 ... N ) ) -1-1-onto-> ( ( A  \  (
1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) ) )
8170, 72, 78, 79, 80syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  u.  ( 1 ... N
) ) -1-1-onto-> ( ( A  \ 
( 1 ... N
) )  u.  (
1 ... N ) ) )
82 fzsplit1nn0 26505 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN0  /\  N  <_ 
( # `  A ) )  ->  ( 1 ... ( # `  A
) )  =  ( ( 1 ... N
)  u.  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) ) )
8352, 56, 61, 82syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( 1 ... ( # `  A
) )  =  ( ( 1 ... N
)  u.  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) ) )
84 uncom 3436 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  u.  ( 1 ... N
) )  =  ( ( 1 ... N
)  u.  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )
8583, 84syl6reqr 2440 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  u.  ( 1 ... N
) )  =  ( 1 ... ( # `  A ) ) )
86 simpl3 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( 1 ... N )  C_  A )
8786, 18sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
1 ... N )  u.  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  =  A )
8816, 87syl5eq 2433 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N
) )  =  A )
89 f1oeq23 5610 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) )  u.  (
1 ... N ) )  =  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  (
( A  \  (
1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  =  A )  ->  (
( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) : ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) )  u.  (
1 ... N ) ) -1-1-onto-> ( ( A  \  (
1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  <->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )
9085, 88, 89syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) ) : ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) )  u.  (
1 ... N ) ) -1-1-onto-> ( ( A  \  (
1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  <->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )
9181, 90mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
92 resundir 5103 . . . 4  |-  ( ( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( ( a  |`  (
1 ... N ) )  u.  ( (  _I  |`  ( 1 ... N
) )  |`  (
1 ... N ) ) )
93 dmres 5109 . . . . . . . 8  |-  dom  (
a  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  dom  a )
94 f1odm 5620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) )  ->  dom  a  =  ( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) )
9594adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  dom  a  =  ( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) )
9695ineq2d 3487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
1 ... N )  i^i 
dom  a )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  (
( N  +  1 ) ... ( # `  A ) ) ) )
9796, 77eqtrd 2421 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
1 ... N )  i^i 
dom  a )  =  (/) )
9893, 97syl5eq 2433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  dom  ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
99 relres 5116 . . . . . . . 8  |-  Rel  (
a  |`  ( 1 ... N ) )
100 reldm0 5029 . . . . . . . 8  |-  ( Rel  ( a  |`  (
1 ... N ) )  ->  ( ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/)  <->  dom  ( a  |`  (
1 ... N ) )  =  (/) ) )
10199, 100ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( a  |`  ( 1 ... N ) )  =  (/)  <->  dom  ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
10298, 101sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
103 residm 5119 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) )
104103a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )
105102, 104uneq12d 3447 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( (  _I  |`  (
1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) ) )  =  ( (/)  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
106 uncom 3436 . . . . . 6  |-  ( (/)  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  =  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  u.  (/) )
107 un0 3597 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  u.  (/) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) )
108106, 107eqtri 2409 . . . . 5  |-  ( (/)  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N
) )
109105, 108syl6eq 2437 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( (  _I  |`  (
1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )
11092, 109syl5eq 2433 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )
111 oveq2 6030 . . . . . 6  |-  ( d  =  ( # `  A
)  ->  ( 1 ... d )  =  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )
112 f1oeq2 5608 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... d )  =  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  (
e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  <->  e :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )
113111, 112syl 16 . . . . 5  |-  ( d  =  ( # `  A
)  ->  ( e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  <->  e : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )
114113anbi1d 686 . . . 4  |-  ( d  =  ( # `  A
)  ->  ( (
e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  <->  ( e : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) ) )
115 f1oeq1 5607 . . . . 5  |-  ( e  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( e : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  <->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )
116 reseq1 5082 . . . . . 6  |-  ( e  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( ( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )  |`  ( 1 ... N
) ) )
117116eqeq1d 2397 . . . . 5  |-  ( e  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
e  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) )  <-> 
( ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )
118115, 117anbi12d 692 . . . 4  |-  ( e  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
e : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )  <->  ( ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  /\  ( ( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) ) )
119114, 118rspc2ev 3005 . . 3  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) )  e. 
_V  /\  ( (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) ) : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  /\  ( ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  E. d  e.  ( ZZ>= `  N ) E. e  e.  _V  ( e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
12063, 69, 91, 110, 119syl112anc 1188 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  E. d  e.  ( ZZ>= `  N ) E. e  e.  _V  ( e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
12151, 120exlimddv 1645 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  E. d  e.  ( ZZ>= `  N ) E. e  e.  _V  ( e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2652   _Vcvv 2901    \ cdif 3262    u. cun 3263    i^i cin 3264    C_ wss 3265   (/)c0 3573   class class class wbr 4155    _I cid 4436   dom cdm 4820    |` cres 4822   Rel wrel 4825   -1-1-onto->wf1o 5395   ` cfv 5396  (class class class)co 6022    ~~ cen 7044   Fincfn 7047   CCcc 8923   RRcr 8924   1c1 8926    + caddc 8928    < clt 9055    <_ cle 9056   NN0cn0 10155   ZZcz 10216   ZZ>=cuz 10422   ...cfz 10977   #chash 11547
This theorem is referenced by:  eldioph2  26513
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-hash 11548
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