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Theorem eldioph2lem1 26839
Description: Lemma for eldioph2 26841. Construct necessary renaming function for one direction. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eldioph2lem1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  E. d  e.  ( ZZ>= `  N ) E. e  e.  _V  ( e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, d,
e    N, d, e

Proof of Theorem eldioph2lem1
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0re 9974 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
213ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  N  e.  RR )
32recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  N  e.  CC )
4 ax-1cn 8795 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
5 addcom 8998 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( N  +  1 )  =  ( 1  +  N ) )
63, 4, 5sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( N  +  1 )  =  ( 1  +  N ) )
7 diffi 7089 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  \  ( 1 ... N ) )  e. 
Fin )
873ad2ant2 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( A  \  ( 1 ... N ) )  e. 
Fin )
9 fzfid 11035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
10 incom 3361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )
11 disjdif 3526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  ( A  \ 
( 1 ... N
) ) )  =  (/)
1210, 11eqtri 2303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/)
1312a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( A  \  (
1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/) )
14 hashun 11364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  (
1 ... N ) )  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  e. 
Fin  /\  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N
) )  =  (/) )  ->  ( # `  (
( A  \  (
1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) ) )  =  ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  ( # `  ( 1 ... N
) ) ) )
158, 9, 13, 14syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( ( A 
\  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N
) ) )  =  ( ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )  +  ( # `  (
1 ... N ) ) ) )
16 uncom 3319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  u.  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )
17 simp3 957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
1 ... N )  C_  A )
18 undif 3534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  A  <->  ( (
1 ... N )  u.  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  =  A )
1917, 18sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( 1 ... N
)  u.  ( A 
\  ( 1 ... N ) ) )  =  A )
2016, 19syl5eq 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( A  \  (
1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  =  A )
2120fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( ( A 
\  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N
) ) )  =  ( # `  A
) )
22 hashfz1 11345 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
23223ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( 1 ... N ) )  =  N )
2423oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( # `  ( A 
\  ( 1 ... N ) ) )  +  ( # `  (
1 ... N ) ) )  =  ( (
# `  ( A  \  ( 1 ... N
) ) )  +  N ) )
2515, 21, 243eqtr3d 2323 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 A )  =  ( ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )  +  N ) )
266, 25oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  =  ( ( 1  +  N ) ... (
( # `  ( A 
\  ( 1 ... N ) ) )  +  N ) ) )
2726fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )  =  ( # `  (
( 1  +  N
) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) ) ) )
28 1z 10053 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
2928a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  1  e.  ZZ )
30 hashcl 11350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( A  \ 
( 1 ... N
) ) )  e. 
NN0 )
318, 30syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( A  \ 
( 1 ... N
) ) )  e. 
NN0 )
3231nn0zd 10115 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( A  \ 
( 1 ... N
) ) )  e.  ZZ )
33 nn0z 10046 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
34333ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  N  e.  ZZ )
35 fzen 10811 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( # `  ( A 
\  ( 1 ... N ) ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) )  ~~  ( ( 1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) ) )
3629, 32, 34, 35syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) )  ~~  ( ( 1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) ) )
37 ensym 6910 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ... ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) ) )  ~~  (
( 1  +  N
) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) )  ->  ( (
1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) )  ~~  ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) )
3836, 37syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( 1  +  N
) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) )  ~~  ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) )
39 fzfi 11034 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) )  e.  Fin
40 fzfi 11034 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) )  e.  Fin
41 hashen 11346 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1  +  N ) ... (
( # `  ( A 
\  ( 1 ... N ) ) )  +  N ) )  e.  Fin  /\  (
1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) )  e.  Fin )  ->  ( ( # `  (
( 1  +  N
) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) ) )  =  (
# `  ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) )  <->  ( (
1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) )  ~~  ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) ) )
4239, 40, 41mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( (
# `  ( (
1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) ) )  =  (
# `  ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) )  <->  ( (
1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) )  ~~  ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) )
4338, 42sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( ( 1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )  +  N ) ) )  =  ( # `  ( 1 ... ( # `
 ( A  \ 
( 1 ... N
) ) ) ) ) )
44 hashfz1 11345 . . . . . 6  |-  ( (
# `  ( A  \  ( 1 ... N
) ) )  e. 
NN0  ->  ( # `  (
1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) )  =  (
# `  ( A  \  ( 1 ... N
) ) ) )
4531, 44syl 15 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) )  =  (
# `  ( A  \  ( 1 ... N
) ) ) )
4627, 43, 453eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )  =  ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) )
47 fzfi 11034 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) )  e.  Fin
48 hashen 11346 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) )  e.  Fin  /\  ( A  \  ( 1 ... N ) )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )  =  ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )  <-> 
( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) 
~~  ( A  \ 
( 1 ... N
) ) ) )
4947, 8, 48sylancr 644 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( # `  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )  =  ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )  <-> 
( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) 
~~  ( A  \ 
( 1 ... N
) ) ) )
5046, 49mpbid 201 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  ~~  ( A  \  (
1 ... N ) ) )
51 bren 6871 . . 3  |-  ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  ~~  ( A  \  (
1 ... N ) )  <->  E. a  a :
( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> ( A  \  ( 1 ... N ) ) )
5250, 51sylib 188 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  E. a 
a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )
53 simpl1 958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
5453nn0zd 10115 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
55 simpl2 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  A  e.  Fin )
56 hashcl 11350 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
5755, 56syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
5857nn0zd 10115 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( # `  A
)  e.  ZZ )
59 nn0addge2 10011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( # `  ( A 
\  ( 1 ... N ) ) )  e.  NN0 )  ->  N  <_  ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) )
602, 31, 59syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  N  <_  ( ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )  +  N ) )
6160, 25breqtrrd 4049 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  N  <_  ( # `  A
) )
6261adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  N  <_  (
# `  A )
)
63 eluz2 10236 . . . . . 6  |-  ( (
# `  A )  e.  ( ZZ>= `  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ZZ  /\  N  <_  ( # `  A
) ) )
6454, 58, 62, 63syl3anbrc 1136 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= `  N ) )
65 vex 2791 . . . . . . 7  |-  a  e. 
_V
66 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
67 resiexg 4997 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... N )  e.  _V  ->  (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  e. 
_V )
6866, 67ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  ( 1 ... N
) )  e.  _V
6965, 68unex 4518 . . . . . 6  |-  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  e.  _V
7069a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  e.  _V )
71 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  a :
( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> ( A  \  ( 1 ... N ) ) )
72 f1oi 5511 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N )
7372a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
74 incom 3361 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  i^i  ( 1 ... N
) )  =  ( ( 1 ... N
)  i^i  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )
7553nn0red 10019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  N  e.  RR )
7675ltp1d 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
77 fzdisj 10817 . . . . . . . . 9  |-  ( N  <  ( N  + 
1 )  ->  (
( 1 ... N
)  i^i  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )  =  (/) )
7876, 77syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
1 ... N )  i^i  ( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) )  =  (/) )
7974, 78syl5eq 2327 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  i^i  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
8012a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
81 f1oun 5492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> ( A 
\  ( 1 ... N ) )  /\  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N
) )  /\  (
( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) )  i^i  (
1 ... N ) )  =  (/)  /\  (
( A  \  (
1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/) ) )  ->  (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) ) : ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) )  u.  (
1 ... N ) ) -1-1-onto-> ( ( A  \  (
1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) ) )
8271, 73, 79, 80, 81syl22anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  u.  ( 1 ... N
) ) -1-1-onto-> ( ( A  \ 
( 1 ... N
) )  u.  (
1 ... N ) ) )
83 fzsplit1nn0 26833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN0  /\  N  <_ 
( # `  A ) )  ->  ( 1 ... ( # `  A
) )  =  ( ( 1 ... N
)  u.  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) ) )
8453, 57, 62, 83syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( 1 ... ( # `  A
) )  =  ( ( 1 ... N
)  u.  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) ) )
85 uncom 3319 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  u.  ( 1 ... N
) )  =  ( ( 1 ... N
)  u.  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )
8684, 85syl6reqr 2334 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  u.  ( 1 ... N
) )  =  ( 1 ... ( # `  A ) ) )
87 simpl3 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( 1 ... N )  C_  A )
8887, 18sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
1 ... N )  u.  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  =  A )
8916, 88syl5eq 2327 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N
) )  =  A )
90 f1oeq23 5466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) )  u.  (
1 ... N ) )  =  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  (
( A  \  (
1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  =  A )  ->  (
( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) : ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) )  u.  (
1 ... N ) ) -1-1-onto-> ( ( A  \  (
1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  <->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )
9186, 89, 90syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) ) : ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) )  u.  (
1 ... N ) ) -1-1-onto-> ( ( A  \  (
1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  <->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )
9282, 91mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
93 resundir 4970 . . . . . 6  |-  ( ( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( ( a  |`  (
1 ... N ) )  u.  ( (  _I  |`  ( 1 ... N
) )  |`  (
1 ... N ) ) )
94 dmres 4976 . . . . . . . . . 10  |-  dom  (
a  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  dom  a )
95 f1odm 5476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) )  ->  dom  a  =  ( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) )
9695adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  dom  a  =  ( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) )
9796ineq2d 3370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
1 ... N )  i^i 
dom  a )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  (
( N  +  1 ) ... ( # `  A ) ) ) )
9897, 78eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
1 ... N )  i^i 
dom  a )  =  (/) )
9994, 98syl5eq 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  dom  ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
100 relres 4983 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  (
a  |`  ( 1 ... N ) )
101 reldm0 4896 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel  ( a  |`  (
1 ... N ) )  ->  ( ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/)  <->  dom  ( a  |`  (
1 ... N ) )  =  (/) ) )
102100, 101ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  |`  ( 1 ... N ) )  =  (/)  <->  dom  ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
10399, 102sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
104 residm 4986 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) )
105104a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )
106103, 105uneq12d 3330 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( (  _I  |`  (
1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) ) )  =  ( (/)  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
107 uncom 3319 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  =  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  u.  (/) )
108 un0 3479 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  u.  (/) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) )
109107, 108eqtri 2303 . . . . . . 7  |-  ( (/)  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N
) )
110106, 109syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( (  _I  |`  (
1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )
11193, 110syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )
112 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  ( # `  A
)  ->  ( 1 ... d )  =  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )
113 f1oeq2 5464 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... d )  =  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  (
e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  <->  e :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )
114112, 113syl 15 . . . . . . 7  |-  ( d  =  ( # `  A
)  ->  ( e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  <->  e : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )
115114anbi1d 685 . . . . . 6  |-  ( d  =  ( # `  A
)  ->  ( (
e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  <->  ( e : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) ) )
116 f1oeq1 5463 . . . . . . 7  |-  ( e  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( e : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  <->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )
117 reseq1 4949 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( ( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )  |`  ( 1 ... N
) ) )
118117eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( e  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
e  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) )  <-> 
( ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )
119116, 118anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( e  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
e : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )  <->  ( ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  /\  ( ( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) ) )
120115, 119rspc2ev 2892 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) )  e. 
_V  /\  ( (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) ) : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  /\  ( ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  E. d  e.  ( ZZ>= `  N ) E. e  e.  _V  ( e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
12164, 70, 92, 111, 120syl112anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  E. d  e.  ( ZZ>= `  N ) E. e  e.  _V  ( e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
122121ex 423 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) )  ->  E. d  e.  (
ZZ>= `  N ) E. e  e.  _V  (
e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) ) )
123122exlimdv 1664 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( E. a  a :
( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> ( A  \  ( 1 ... N ) )  ->  E. d  e.  (
ZZ>= `  N ) E. e  e.  _V  (
e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) ) )
12452, 123mpd 14 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  E. d  e.  ( ZZ>= `  N ) E. e  e.  _V  ( e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    _I cid 4304   dom cdm 4689    |` cres 4691   Rel wrel 4694   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ~~ cen 6860   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   #chash 11337
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-hash 11338
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