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Theorem eldioph2lem1 26942
Description: Lemma for eldioph2 26944. Construct necessary renaming function for one direction. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eldioph2lem1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  E. d  e.  ( ZZ>= `  N ) E. e  e.  _V  ( e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, d,
e    N, d, e

Proof of Theorem eldioph2lem1
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0re 9990 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
213ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  N  e.  RR )
32recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  N  e.  CC )
4 ax-1cn 8811 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
5 addcom 9014 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( N  +  1 )  =  ( 1  +  N ) )
63, 4, 5sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( N  +  1 )  =  ( 1  +  N ) )
7 diffi 7105 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  \  ( 1 ... N ) )  e. 
Fin )
873ad2ant2 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( A  \  ( 1 ... N ) )  e. 
Fin )
9 fzfid 11051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
10 incom 3374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )
11 disjdif 3539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  ( A  \ 
( 1 ... N
) ) )  =  (/)
1210, 11eqtri 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/)
1312a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( A  \  (
1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/) )
14 hashun 11380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  (
1 ... N ) )  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  e. 
Fin  /\  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N
) )  =  (/) )  ->  ( # `  (
( A  \  (
1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) ) )  =  ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  ( # `  ( 1 ... N
) ) ) )
158, 9, 13, 14syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( ( A 
\  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N
) ) )  =  ( ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )  +  ( # `  (
1 ... N ) ) ) )
16 uncom 3332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  u.  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )
17 simp3 957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
1 ... N )  C_  A )
18 undif 3547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  A  <->  ( (
1 ... N )  u.  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  =  A )
1917, 18sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( 1 ... N
)  u.  ( A 
\  ( 1 ... N ) ) )  =  A )
2016, 19syl5eq 2340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( A  \  (
1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  =  A )
2120fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( ( A 
\  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N
) ) )  =  ( # `  A
) )
22 hashfz1 11361 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
23223ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( 1 ... N ) )  =  N )
2423oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( # `  ( A 
\  ( 1 ... N ) ) )  +  ( # `  (
1 ... N ) ) )  =  ( (
# `  ( A  \  ( 1 ... N
) ) )  +  N ) )
2515, 21, 243eqtr3d 2336 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 A )  =  ( ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )  +  N ) )
266, 25oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  =  ( ( 1  +  N ) ... (
( # `  ( A 
\  ( 1 ... N ) ) )  +  N ) ) )
2726fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )  =  ( # `  (
( 1  +  N
) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) ) ) )
28 1z 10069 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
2928a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  1  e.  ZZ )
30 hashcl 11366 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( A  \ 
( 1 ... N
) ) )  e. 
NN0 )
318, 30syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( A  \ 
( 1 ... N
) ) )  e. 
NN0 )
3231nn0zd 10131 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( A  \ 
( 1 ... N
) ) )  e.  ZZ )
33 nn0z 10062 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
34333ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  N  e.  ZZ )
35 fzen 10827 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( # `  ( A 
\  ( 1 ... N ) ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) )  ~~  ( ( 1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) ) )
3629, 32, 34, 35syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) )  ~~  ( ( 1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) ) )
37 ensym 6926 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ... ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) ) )  ~~  (
( 1  +  N
) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) )  ->  ( (
1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) )  ~~  ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) )
3836, 37syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( 1  +  N
) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) )  ~~  ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) )
39 fzfi 11050 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) )  e.  Fin
40 fzfi 11050 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) )  e.  Fin
41 hashen 11362 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1  +  N ) ... (
( # `  ( A 
\  ( 1 ... N ) ) )  +  N ) )  e.  Fin  /\  (
1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) )  e.  Fin )  ->  ( ( # `  (
( 1  +  N
) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) ) )  =  (
# `  ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) )  <->  ( (
1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) )  ~~  ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) ) )
4239, 40, 41mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( (
# `  ( (
1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) ) )  =  (
# `  ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) )  <->  ( (
1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) )  ~~  ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) )
4338, 42sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( ( 1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )  +  N ) ) )  =  ( # `  ( 1 ... ( # `
 ( A  \ 
( 1 ... N
) ) ) ) ) )
44 hashfz1 11361 . . . . . 6  |-  ( (
# `  ( A  \  ( 1 ... N
) ) )  e. 
NN0  ->  ( # `  (
1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) )  =  (
# `  ( A  \  ( 1 ... N
) ) ) )
4531, 44syl 15 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) )  =  (
# `  ( A  \  ( 1 ... N
) ) ) )
4627, 43, 453eqtrd 2332 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )  =  ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) )
47 fzfi 11050 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) )  e.  Fin
48 hashen 11362 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) )  e.  Fin  /\  ( A  \  ( 1 ... N ) )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )  =  ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )  <-> 
( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) 
~~  ( A  \ 
( 1 ... N
) ) ) )
4947, 8, 48sylancr 644 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( # `  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )  =  ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )  <-> 
( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) 
~~  ( A  \ 
( 1 ... N
) ) ) )
5046, 49mpbid 201 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  ~~  ( A  \  (
1 ... N ) ) )
51 bren 6887 . . 3  |-  ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  ~~  ( A  \  (
1 ... N ) )  <->  E. a  a :
( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> ( A  \  ( 1 ... N ) ) )
5250, 51sylib 188 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  E. a 
a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )
53 simpl1 958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
5453nn0zd 10131 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
55 simpl2 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  A  e.  Fin )
56 hashcl 11366 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
5755, 56syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
5857nn0zd 10131 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( # `  A
)  e.  ZZ )
59 nn0addge2 10027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( # `  ( A 
\  ( 1 ... N ) ) )  e.  NN0 )  ->  N  <_  ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) )
602, 31, 59syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  N  <_  ( ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )  +  N ) )
6160, 25breqtrrd 4065 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  N  <_  ( # `  A
) )
6261adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  N  <_  (
# `  A )
)
63 eluz2 10252 . . . . . 6  |-  ( (
# `  A )  e.  ( ZZ>= `  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ZZ  /\  N  <_  ( # `  A
) ) )
6454, 58, 62, 63syl3anbrc 1136 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= `  N ) )
65 vex 2804 . . . . . . 7  |-  a  e. 
_V
66 ovex 5899 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
67 resiexg 5013 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... N )  e.  _V  ->  (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  e. 
_V )
6866, 67ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  ( 1 ... N
) )  e.  _V
6965, 68unex 4534 . . . . . 6  |-  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  e.  _V
7069a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  e.  _V )
71 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  a :
( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> ( A  \  ( 1 ... N ) ) )
72 f1oi 5527 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N )
7372a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
74 incom 3374 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  i^i  ( 1 ... N
) )  =  ( ( 1 ... N
)  i^i  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )
7553nn0red 10035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  N  e.  RR )
7675ltp1d 9703 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
77 fzdisj 10833 . . . . . . . . 9  |-  ( N  <  ( N  + 
1 )  ->  (
( 1 ... N
)  i^i  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )  =  (/) )
7876, 77syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
1 ... N )  i^i  ( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) )  =  (/) )
7974, 78syl5eq 2340 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  i^i  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
8012a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
81 f1oun 5508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> ( A 
\  ( 1 ... N ) )  /\  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N
) )  /\  (
( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) )  i^i  (
1 ... N ) )  =  (/)  /\  (
( A  \  (
1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/) ) )  ->  (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) ) : ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) )  u.  (
1 ... N ) ) -1-1-onto-> ( ( A  \  (
1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) ) )
8271, 73, 79, 80, 81syl22anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  u.  ( 1 ... N
) ) -1-1-onto-> ( ( A  \ 
( 1 ... N
) )  u.  (
1 ... N ) ) )
83 fzsplit1nn0 26936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN0  /\  N  <_ 
( # `  A ) )  ->  ( 1 ... ( # `  A
) )  =  ( ( 1 ... N
)  u.  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) ) )
8453, 57, 62, 83syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( 1 ... ( # `  A
) )  =  ( ( 1 ... N
)  u.  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) ) )
85 uncom 3332 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  u.  ( 1 ... N
) )  =  ( ( 1 ... N
)  u.  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )
8684, 85syl6reqr 2347 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  u.  ( 1 ... N
) )  =  ( 1 ... ( # `  A ) ) )
87 simpl3 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( 1 ... N )  C_  A )
8887, 18sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
1 ... N )  u.  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  =  A )
8916, 88syl5eq 2340 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N
) )  =  A )
90 f1oeq23 5482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) )  u.  (
1 ... N ) )  =  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  (
( A  \  (
1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  =  A )  ->  (
( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) : ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) )  u.  (
1 ... N ) ) -1-1-onto-> ( ( A  \  (
1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  <->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )
9186, 89, 90syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) ) : ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) )  u.  (
1 ... N ) ) -1-1-onto-> ( ( A  \  (
1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  <->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )
9282, 91mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
93 resundir 4986 . . . . . 6  |-  ( ( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( ( a  |`  (
1 ... N ) )  u.  ( (  _I  |`  ( 1 ... N
) )  |`  (
1 ... N ) ) )
94 dmres 4992 . . . . . . . . . 10  |-  dom  (
a  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  dom  a )
95 f1odm 5492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) )  ->  dom  a  =  ( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) )
9695adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  dom  a  =  ( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) )
9796ineq2d 3383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
1 ... N )  i^i 
dom  a )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  (
( N  +  1 ) ... ( # `  A ) ) ) )
9897, 78eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
1 ... N )  i^i 
dom  a )  =  (/) )
9994, 98syl5eq 2340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  dom  ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
100 relres 4999 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  (
a  |`  ( 1 ... N ) )
101 reldm0 4912 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel  ( a  |`  (
1 ... N ) )  ->  ( ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/)  <->  dom  ( a  |`  (
1 ... N ) )  =  (/) ) )
102100, 101ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  |`  ( 1 ... N ) )  =  (/)  <->  dom  ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
10399, 102sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
104 residm 5002 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) )
105104a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )
106103, 105uneq12d 3343 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( (  _I  |`  (
1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) ) )  =  ( (/)  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
107 uncom 3332 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  =  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  u.  (/) )
108 un0 3492 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  u.  (/) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) )
109107, 108eqtri 2316 . . . . . . 7  |-  ( (/)  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N
) )
110106, 109syl6eq 2344 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( (  _I  |`  (
1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )
11193, 110syl5eq 2340 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )
112 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  ( # `  A
)  ->  ( 1 ... d )  =  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )
113 f1oeq2 5480 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... d )  =  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  (
e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  <->  e :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )
114112, 113syl 15 . . . . . . 7  |-  ( d  =  ( # `  A
)  ->  ( e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  <->  e : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )
115114anbi1d 685 . . . . . 6  |-  ( d  =  ( # `  A
)  ->  ( (
e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  <->  ( e : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) ) )
116 f1oeq1 5479 . . . . . . 7  |-  ( e  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( e : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  <->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )
117 reseq1 4965 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( ( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )  |`  ( 1 ... N
) ) )
118117eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( e  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
e  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) )  <-> 
( ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )
119116, 118anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( e  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
e : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )  <->  ( ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  /\  ( ( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) ) )
120115, 119rspc2ev 2905 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) )  e. 
_V  /\  ( (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) ) : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  /\  ( ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  E. d  e.  ( ZZ>= `  N ) E. e  e.  _V  ( e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
12164, 70, 92, 111, 120syl112anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  E. d  e.  ( ZZ>= `  N ) E. e  e.  _V  ( e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
122121ex 423 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) )  ->  E. d  e.  (
ZZ>= `  N ) E. e  e.  _V  (
e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) ) )
123122exlimdv 1626 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( E. a  a :
( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> ( A  \  ( 1 ... N ) )  ->  E. d  e.  (
ZZ>= `  N ) E. e  e.  _V  (
e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) ) )
12452, 123mpd 14 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  E. d  e.  ( ZZ>= `  N ) E. e  e.  _V  ( e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    _I cid 4320   dom cdm 4705    |` cres 4707   Rel wrel 4710   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ~~ cen 6876   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798   #chash 11353
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354
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