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Theorem eldioph2lem1 26772
Description: Lemma for eldioph2 26774. Construct necessary renaming function for one direction. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eldioph2lem1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  E. d  e.  ( ZZ>= `  N ) E. e  e.  _V  ( e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, d,
e    N, d, e

Proof of Theorem eldioph2lem1
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0re 10220 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
213ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  N  e.  RR )
32recnd 9104 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  N  e.  CC )
4 ax-1cn 9038 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
5 addcom 9242 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( N  +  1 )  =  ( 1  +  N ) )
63, 4, 5sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( N  +  1 )  =  ( 1  +  N ) )
7 diffi 7331 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  \  ( 1 ... N ) )  e. 
Fin )
873ad2ant2 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( A  \  ( 1 ... N ) )  e. 
Fin )
9 fzfid 11302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
10 incom 3525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )
11 disjdif 3692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  ( A  \ 
( 1 ... N
) ) )  =  (/)
1210, 11eqtri 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/)
1312a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( A  \  (
1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/) )
14 hashun 11646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  (
1 ... N ) )  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  e. 
Fin  /\  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N
) )  =  (/) )  ->  ( # `  (
( A  \  (
1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) ) )  =  ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  ( # `  ( 1 ... N
) ) ) )
158, 9, 13, 14syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( ( A 
\  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N
) ) )  =  ( ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )  +  ( # `  (
1 ... N ) ) ) )
16 uncom 3483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  u.  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )
17 simp3 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
1 ... N )  C_  A )
18 undif 3700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  A  <->  ( (
1 ... N )  u.  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  =  A )
1917, 18sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( 1 ... N
)  u.  ( A 
\  ( 1 ... N ) ) )  =  A )
2016, 19syl5eq 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( A  \  (
1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  =  A )
2120fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( ( A 
\  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N
) ) )  =  ( # `  A
) )
22 hashfz1 11620 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
23223ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( 1 ... N ) )  =  N )
2423oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( # `  ( A 
\  ( 1 ... N ) ) )  +  ( # `  (
1 ... N ) ) )  =  ( (
# `  ( A  \  ( 1 ... N
) ) )  +  N ) )
2515, 21, 243eqtr3d 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 A )  =  ( ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )  +  N ) )
266, 25oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  =  ( ( 1  +  N ) ... (
( # `  ( A 
\  ( 1 ... N ) ) )  +  N ) ) )
2726fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )  =  ( # `  (
( 1  +  N
) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) ) ) )
28 1z 10301 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
2928a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  1  e.  ZZ )
30 hashcl 11629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( A  \ 
( 1 ... N
) ) )  e. 
NN0 )
318, 30syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( A  \ 
( 1 ... N
) ) )  e. 
NN0 )
3231nn0zd 10363 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( A  \ 
( 1 ... N
) ) )  e.  ZZ )
33 nn0z 10294 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
34333ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  N  e.  ZZ )
35 fzen 11062 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( # `  ( A 
\  ( 1 ... N ) ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) )  ~~  ( ( 1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) ) )
3629, 32, 34, 35syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) )  ~~  ( ( 1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) ) )
3736ensymd 7150 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( 1  +  N
) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) )  ~~  ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) )
38 fzfi 11301 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) )  e.  Fin
39 fzfi 11301 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) )  e.  Fin
40 hashen 11621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1  +  N ) ... (
( # `  ( A 
\  ( 1 ... N ) ) )  +  N ) )  e.  Fin  /\  (
1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) )  e.  Fin )  ->  ( ( # `  (
( 1  +  N
) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) ) )  =  (
# `  ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) )  <->  ( (
1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) )  ~~  ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) ) )
4138, 39, 40mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( (
# `  ( (
1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) ) )  =  (
# `  ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) )  <->  ( (
1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) )  ~~  ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) )
4237, 41sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( ( 1  +  N ) ... ( ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )  +  N ) ) )  =  ( # `  ( 1 ... ( # `
 ( A  \ 
( 1 ... N
) ) ) ) ) )
43 hashfz1 11620 . . . . . 6  |-  ( (
# `  ( A  \  ( 1 ... N
) ) )  e. 
NN0  ->  ( # `  (
1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) )  =  (
# `  ( A  \  ( 1 ... N
) ) ) )
4431, 43syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( 1 ... ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) ) )  =  (
# `  ( A  \  ( 1 ... N
) ) ) )
4527, 42, 443eqtrd 2471 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  ( # `
 ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )  =  ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) ) )
46 fzfi 11301 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) )  e.  Fin
47 hashen 11621 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) )  e.  Fin  /\  ( A  \  ( 1 ... N ) )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )  =  ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )  <-> 
( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) 
~~  ( A  \ 
( 1 ... N
) ) ) )
4846, 8, 47sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( # `  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )  =  ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )  <-> 
( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) 
~~  ( A  \ 
( 1 ... N
) ) ) )
4945, 48mpbid 202 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  (
( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  ~~  ( A  \  (
1 ... N ) ) )
50 bren 7109 . . 3  |-  ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  ~~  ( A  \  (
1 ... N ) )  <->  E. a  a :
( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> ( A  \  ( 1 ... N ) ) )
5149, 50sylib 189 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  E. a 
a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )
52 simpl1 960 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
5352nn0zd 10363 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
54 simpl2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  A  e.  Fin )
55 hashcl 11629 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
5654, 55syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
5756nn0zd 10363 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( # `  A
)  e.  ZZ )
58 nn0addge2 10257 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( # `  ( A 
\  ( 1 ... N ) ) )  e.  NN0 )  ->  N  <_  ( ( # `  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  +  N ) )
592, 31, 58syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  N  <_  ( ( # `  ( A  \  ( 1 ... N ) ) )  +  N ) )
6059, 25breqtrrd 4230 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  N  <_  ( # `  A
) )
6160adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  N  <_  (
# `  A )
)
62 eluz2 10484 . . . 4  |-  ( (
# `  A )  e.  ( ZZ>= `  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ZZ  /\  N  <_  ( # `  A
) ) )
6353, 57, 61, 62syl3anbrc 1138 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= `  N ) )
64 vex 2951 . . . . 5  |-  a  e. 
_V
65 ovex 6098 . . . . . 6  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
66 resiexg 5180 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... N )  e.  _V  ->  (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  e. 
_V )
6765, 66ax-mp 8 . . . . 5  |-  (  _I  |`  ( 1 ... N
) )  e.  _V
6864, 67unex 4699 . . . 4  |-  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  e.  _V
6968a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  e.  _V )
70 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  a :
( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> ( A  \  ( 1 ... N ) ) )
71 f1oi 5705 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N )
7271a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
73 incom 3525 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  i^i  ( 1 ... N
) )  =  ( ( 1 ... N
)  i^i  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )
7452nn0red 10265 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  N  e.  RR )
7574ltp1d 9931 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
76 fzdisj 11068 . . . . . . 7  |-  ( N  <  ( N  + 
1 )  ->  (
( 1 ... N
)  i^i  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )  =  (/) )
7775, 76syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
1 ... N )  i^i  ( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) )  =  (/) )
7873, 77syl5eq 2479 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  i^i  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
7912a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
80 f1oun 5686 . . . . 5  |-  ( ( ( a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> ( A 
\  ( 1 ... N ) )  /\  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N
) )  /\  (
( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) )  i^i  (
1 ... N ) )  =  (/)  /\  (
( A  \  (
1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/) ) )  ->  (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) ) : ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) )  u.  (
1 ... N ) ) -1-1-onto-> ( ( A  \  (
1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) ) )
8170, 72, 78, 79, 80syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  u.  ( 1 ... N
) ) -1-1-onto-> ( ( A  \ 
( 1 ... N
) )  u.  (
1 ... N ) ) )
82 fzsplit1nn0 26766 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN0  /\  N  <_ 
( # `  A ) )  ->  ( 1 ... ( # `  A
) )  =  ( ( 1 ... N
)  u.  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) ) )
8352, 56, 61, 82syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( 1 ... ( # `  A
) )  =  ( ( 1 ... N
)  u.  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) ) )
84 uncom 3483 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  u.  ( 1 ... N
) )  =  ( ( 1 ... N
)  u.  ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) )
8583, 84syl6reqr 2486 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
( N  +  1 ) ... ( # `  A ) )  u.  ( 1 ... N
) )  =  ( 1 ... ( # `  A ) ) )
86 simpl3 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( 1 ... N )  C_  A )
8786, 18sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
1 ... N )  u.  ( A  \  (
1 ... N ) ) )  =  A )
8816, 87syl5eq 2479 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( ( A  \  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N
) )  =  A )
89 f1oeq23 5660 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) )  u.  (
1 ... N ) )  =  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  (
( A  \  (
1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  =  A )  ->  (
( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) : ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) )  u.  (
1 ... N ) ) -1-1-onto-> ( ( A  \  (
1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  <->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )
9085, 88, 89syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) ) : ( ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) )  u.  (
1 ... N ) ) -1-1-onto-> ( ( A  \  (
1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  <->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )
9181, 90mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
92 resundir 5153 . . . 4  |-  ( ( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( ( a  |`  (
1 ... N ) )  u.  ( (  _I  |`  ( 1 ... N
) )  |`  (
1 ... N ) ) )
93 dmres 5159 . . . . . . . 8  |-  dom  (
a  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  dom  a )
94 f1odm 5670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) )  ->  dom  a  =  ( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) )
9594adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  dom  a  =  ( ( N  + 
1 ) ... ( # `
 A ) ) )
9695ineq2d 3534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
1 ... N )  i^i 
dom  a )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  (
( N  +  1 ) ... ( # `  A ) ) ) )
9796, 77eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
1 ... N )  i^i 
dom  a )  =  (/) )
9893, 97syl5eq 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  dom  ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
99 relres 5166 . . . . . . . 8  |-  Rel  (
a  |`  ( 1 ... N ) )
100 reldm0 5079 . . . . . . . 8  |-  ( Rel  ( a  |`  (
1 ... N ) )  ->  ( ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/)  <->  dom  ( a  |`  (
1 ... N ) )  =  (/) ) )
10199, 100ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( a  |`  ( 1 ... N ) )  =  (/)  <->  dom  ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
10298, 101sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
103 residm 5169 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) )
104103a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )
105102, 104uneq12d 3494 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( (  _I  |`  (
1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) ) )  =  ( (/)  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
106 uncom 3483 . . . . . 6  |-  ( (/)  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  =  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  u.  (/) )
107 un0 3644 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  u.  (/) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) )
108106, 107eqtri 2455 . . . . 5  |-  ( (/)  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N
) )
109105, 108syl6eq 2483 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( (  _I  |`  (
1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )
11092, 109syl5eq 2479 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )
111 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( d  =  ( # `  A
)  ->  ( 1 ... d )  =  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )
112 f1oeq2 5658 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... d )  =  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  (
e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  <->  e :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )
113111, 112syl 16 . . . . 5  |-  ( d  =  ( # `  A
)  ->  ( e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  <->  e : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )
114113anbi1d 686 . . . 4  |-  ( d  =  ( # `  A
)  ->  ( (
e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  <->  ( e : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) ) )
115 f1oeq1 5657 . . . . 5  |-  ( e  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( e : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  <->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )
116 reseq1 5132 . . . . . 6  |-  ( e  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( ( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )  |`  ( 1 ... N
) ) )
117116eqeq1d 2443 . . . . 5  |-  ( e  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
e  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) )  <-> 
( ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )
118115, 117anbi12d 692 . . . 4  |-  ( e  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
e : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )  <->  ( ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  /\  ( ( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) )  |`  ( 1 ... N
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119114, 118rspc2ev 3052 . . 3  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) )  e. 
_V  /\  ( (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) ) : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  /\  ( ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )  ->  E. d  e.  ( ZZ>= `  N ) E. e  e.  _V  ( e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
12063, 69, 91, 110, 119syl112anc 1188 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  C_  A )  /\  a : ( ( N  +  1 ) ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> ( A  \  (
1 ... N ) ) )  ->  E. d  e.  ( ZZ>= `  N ) E. e  e.  _V  ( e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
12151, 120exlimddv 1648 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  Fin  /\  (
1 ... N )  C_  A )  ->  E. d  e.  ( ZZ>= `  N ) E. e  e.  _V  ( e : ( 1 ... d ) -1-1-onto-> A  /\  ( e  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   class class class wbr 4204    _I cid 4485   dom cdm 4870    |` cres 4872   Rel wrel 4875   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ~~ cen 7098   Fincfn 7101   CCcc 8978   RRcr 8979   1c1 8981    + caddc 8983    < clt 9110    <_ cle 9111   NN0cn0 10211   ZZcz 10272   ZZ>=cuz 10478   ...cfz 11033   #chash 11608
This theorem is referenced by:  eldioph2  26774
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-fz 11034  df-hash 11609
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