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Theorem eldioph2lem2 26819
Description: Lemma for eldioph2 26820. Construct necessary renaming function for one direction. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eldioph2lem2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\ 
-.  S  e.  Fin )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  S  /\  A  e.  (
ZZ>= `  N ) ) )  ->  E. c
( c : ( 1 ... A )
-1-1-> S  /\  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
Distinct variable groups:    N, c    S, c    A, c

Proof of Theorem eldioph2lem2
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 732 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\ 
-.  S  e.  Fin )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  S  /\  A  e.  (
ZZ>= `  N ) ) )  ->  -.  S  e.  Fin )
2 fzfi 11311 . . . 4  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
3 difinf 7377 . . . 4  |-  ( ( -.  S  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  e.  Fin )  ->  -.  ( S  \ 
( 1 ... N
) )  e.  Fin )
41, 2, 3sylancl 644 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\ 
-.  S  e.  Fin )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  S  /\  A  e.  (
ZZ>= `  N ) ) )  ->  -.  ( S  \  ( 1 ... N ) )  e. 
Fin )
5 fzfi 11311 . . . 4  |-  ( 1 ... A )  e. 
Fin
6 diffi 7339 . . . 4  |-  ( ( 1 ... A )  e.  Fin  ->  (
( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )  e.  Fin )
75, 6ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( 1 ... A ) 
\  ( 1 ... N ) )  e. 
Fin
8 isinffi 7879 . . 3  |-  ( ( -.  ( S  \ 
( 1 ... N
) )  e.  Fin  /\  ( ( 1 ... A )  \  (
1 ... N ) )  e.  Fin )  ->  E. a  a :
( ( 1 ... A )  \  (
1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )
94, 7, 8sylancl 644 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\ 
-.  S  e.  Fin )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  S  /\  A  e.  (
ZZ>= `  N ) ) )  ->  E. a 
a : ( ( 1 ... A ) 
\  ( 1 ... N ) ) -1-1-> ( S  \  ( 1 ... N ) ) )
10 f1f1orn 5685 . . . . . . . 8  |-  ( a : ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) ) -1-1-> ( S 
\  ( 1 ... N ) )  -> 
a : ( ( 1 ... A ) 
\  ( 1 ... N ) ) -1-1-onto-> ran  a
)
1110adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  a :
( ( 1 ... A )  \  (
1 ... N ) ) -1-1-onto-> ran  a )
12 f1oi 5713 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N )
1312a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
14 incom 3533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  (
( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) ) )
15 disjdif 3700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) ) )  =  (/)
1614, 15eqtri 2456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/)
1716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/) )
18 f1f 5639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a : ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) ) -1-1-> ( S 
\  ( 1 ... N ) )  -> 
a : ( ( 1 ... A ) 
\  ( 1 ... N ) ) --> ( S  \  ( 1 ... N ) ) )
19 frn 5597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a : ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) ) --> ( S 
\  ( 1 ... N ) )  ->  ran  a  C_  ( S 
\  ( 1 ... N ) ) )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a : ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) ) -1-1-> ( S 
\  ( 1 ... N ) )  ->  ran  a  C_  ( S 
\  ( 1 ... N ) ) )
2120adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ran  a  C_  ( S  \  (
1 ... N ) ) )
22 ssrin 3566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  a  C_  ( S  \  ( 1 ... N
) )  ->  ( ran  a  i^i  (
1 ... N ) ) 
C_  ( ( S 
\  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N
) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( ran  a  i^i  ( 1 ... N ) )  C_  ( ( S  \ 
( 1 ... N
) )  i^i  (
1 ... N ) ) )
24 incom 3533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  ( S  \  ( 1 ... N ) ) )
25 disjdif 3700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  ( S  \ 
( 1 ... N
) ) )  =  (/)
2624, 25eqtri 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  \  ( 1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/)
2723, 26syl6sseq 3394 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( ran  a  i^i  ( 1 ... N ) )  C_  (/) )
28 ss0 3658 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  a  i^i  (
1 ... N ) ) 
C_  (/)  ->  ( ran  a  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/) )
2927, 28syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( ran  a  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/) )
30 f1oun 5694 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) ) -1-1-onto-> ran  a  /\  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )  /\  ( ( ( ( 1 ... A )  \  (
1 ... N ) )  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/)  /\  ( ran  a  i^i  ( 1 ... N
) )  =  (/) ) )  ->  (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) ) : ( ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) )  u.  (
1 ... N ) ) -1-1-onto-> ( ran  a  u.  (
1 ... N ) ) )
3111, 13, 17, 29, 30syl22anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) ) -1-1-onto-> ( ran  a  u.  ( 1 ... N ) ) )
32 f1of1 5673 . . . . . 6  |-  ( ( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) ) : ( ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) )  u.  (
1 ... N ) ) -1-1-onto-> ( ran  a  u.  (
1 ... N ) )  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) ) -1-1-> ( ran  a  u.  (
1 ... N ) ) )
3331, 32syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) ) -1-1-> ( ran  a  u.  (
1 ... N ) ) )
34 uncom 3491 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  u.  (
( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) ) )
35 simplrr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  N )
)
36 fzss2 11092 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... A
) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... A
) )
38 undif 3708 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  ( 1 ... A )  <->  ( (
1 ... N )  u.  ( ( 1 ... A )  \  (
1 ... N ) ) )  =  ( 1 ... A ) )
3937, 38sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
1 ... N )  u.  ( ( 1 ... A )  \  (
1 ... N ) ) )  =  ( 1 ... A ) )
4034, 39syl5eq 2480 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  =  ( 1 ... A
) )
41 f1eq2 5635 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 1 ... A )  \  (
1 ... N ) )  u.  ( 1 ... N ) )  =  ( 1 ... A
)  ->  ( (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) ) : ( ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) )  u.  (
1 ... N ) )
-1-1-> ( ran  a  u.  ( 1 ... N
) )  <->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... A ) -1-1-> ( ran  a  u.  (
1 ... N ) ) ) )
4240, 41syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) ) : ( ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) )  u.  (
1 ... N ) )
-1-1-> ( ran  a  u.  ( 1 ... N
) )  <->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... A ) -1-1-> ( ran  a  u.  (
1 ... N ) ) ) )
4333, 42mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... A ) -1-1-> ( ran  a  u.  (
1 ... N ) ) )
4420difss2d 3477 . . . . . 6  |-  ( a : ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) ) -1-1-> ( S 
\  ( 1 ... N ) )  ->  ran  a  C_  S )
4544adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ran  a  C_  S )
46 simplrl 737 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( 1 ... N )  C_  S )
4745, 46unssd 3523 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( ran  a  u.  ( 1 ... N ) ) 
C_  S )
48 f1ss 5644 . . . 4  |-  ( ( ( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) : ( 1 ... A ) -1-1-> ( ran  a  u.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ran  a  u.  ( 1 ... N
) )  C_  S
)  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... A ) -1-1-> S
)
4943, 47, 48syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... A ) -1-1-> S
)
50 resundir 5161 . . . 4  |-  ( ( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( ( a  |`  (
1 ... N ) )  u.  ( (  _I  |`  ( 1 ... N
) )  |`  (
1 ... N ) ) )
51 dmres 5167 . . . . . . . 8  |-  dom  (
a  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  dom  a )
52 incom 3533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  dom  a )  =  ( dom  a  i^i  ( 1 ... N
) )
53 f1dm 5643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a : ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) ) -1-1-> ( S 
\  ( 1 ... N ) )  ->  dom  a  =  (
( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) ) )
5453adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  dom  a  =  ( ( 1 ... A )  \  (
1 ... N ) ) )
5554ineq1d 3541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( dom  a  i^i  ( 1 ... N ) )  =  ( ( ( 1 ... A )  \ 
( 1 ... N
) )  i^i  (
1 ... N ) ) )
5655, 16syl6eq 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( dom  a  i^i  ( 1 ... N ) )  =  (/) )
5752, 56syl5eq 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
1 ... N )  i^i 
dom  a )  =  (/) )
5851, 57syl5eq 2480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  dom  ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
59 relres 5174 . . . . . . . 8  |-  Rel  (
a  |`  ( 1 ... N ) )
60 reldm0 5087 . . . . . . . 8  |-  ( Rel  ( a  |`  (
1 ... N ) )  ->  ( ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/)  <->  dom  ( a  |`  (
1 ... N ) )  =  (/) ) )
6159, 60ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( a  |`  ( 1 ... N ) )  =  (/)  <->  dom  ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
6258, 61sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( a  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/) )
63 residm 5177 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) )
6463a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )
6562, 64uneq12d 3502 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( (  _I  |`  (
1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) ) )  =  ( (/)  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
66 uncom 3491 . . . . . 6  |-  ( (/)  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  =  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  u.  (/) )
67 un0 3652 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  u.  (/) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) )
6866, 67eqtri 2456 . . . . 5  |-  ( (/)  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N
) )
6965, 68syl6eq 2484 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  |`  ( 1 ... N ) )  u.  ( (  _I  |`  (
1 ... N ) )  |`  ( 1 ... N
) ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )
7050, 69syl5eq 2480 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N
) ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )
71 vex 2959 . . . . 5  |-  a  e. 
_V
72 ovex 6106 . . . . . 6  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
73 resiexg 5188 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... N )  e.  _V  ->  (  _I  |`  ( 1 ... N ) )  e. 
_V )
7472, 73ax-mp 8 . . . . 5  |-  (  _I  |`  ( 1 ... N
) )  e.  _V
7571, 74unex 4707 . . . 4  |-  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  e.  _V
76 f1eq1 5634 . . . . 5  |-  ( c  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( c : ( 1 ... A ) -1-1-> S  <->  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... A ) -1-1-> S
) )
77 reseq1 5140 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( ( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) )  |`  ( 1 ... N
) ) )
7877eqeq1d 2444 . . . . 5  |-  ( c  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
c  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) )  <-> 
( ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) )
7976, 78anbi12d 692 . . . 4  |-  ( c  =  ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
c : ( 1 ... A ) -1-1-> S  /\  ( c  |`  (
1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  <->  ( ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) : ( 1 ... A ) -1-1-> S  /\  ( ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) ) ) )
8075, 79spcev 3043 . . 3  |-  ( ( ( a  u.  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) : ( 1 ... A ) -1-1-> S  /\  ( ( a  u.  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  |`  ( 1 ... N ) )  =  (  _I  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  E. c
( c : ( 1 ... A )
-1-1-> S  /\  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
8149, 70, 80syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  (
( 1 ... N
)  C_  S  /\  A  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )  /\  a : ( ( 1 ... A
)  \  ( 1 ... N ) )
-1-1-> ( S  \  (
1 ... N ) ) )  ->  E. c
( c : ( 1 ... A )
-1-1-> S  /\  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
829, 81exlimddv 1648 1  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\ 
-.  S  e.  Fin )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  S  /\  A  e.  (
ZZ>= `  N ) ) )  ->  E. c
( c : ( 1 ... A )
-1-1-> S  /\  ( c  |`  ( 1 ... N
) )  =  (  _I  |`  ( 1 ... N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    u. cun 3318    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628    _I cid 4493   dom cdm 4878   ran crn 4879    |` cres 4880   Rel wrel 4883   -->wf 5450   -1-1->wf1 5451   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Fincfn 7109   1c1 8991   NN0cn0 10221   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043
This theorem is referenced by:  eldioph2b  26821
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044
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