Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldioph3b Unicode version

Theorem eldioph3b 26947
Description: Define Diophantine sets in terms of polynomials with variables indexed by  NN. This avoids a quantifier over the number of witness variables and will be easier to use than eldiophb 26939 in most cases. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eldioph3b  |-  ( A  e.  (Dioph `  N
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  E. p  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
Distinct variable groups:    A, p, t, u    N, p, t, u

Proof of Theorem eldioph3b
StepHypRef Expression
1 eldiophelnn0 26946 . 2  |-  ( A  e.  (Dioph `  N
)  ->  N  e.  NN0 )
2 nnex 9768 . . 3  |-  NN  e.  _V
3 1z 10069 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
4 nnuz 10279 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
54uzinf 11044 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -.  NN  e.  Fin )
63, 5ax-mp 8 . . . 4  |-  -.  NN  e.  Fin
7 elfznn 10835 . . . . 5  |-  ( p  e.  ( 1 ... N )  ->  p  e.  NN )
87ssriv 3197 . . . 4  |-  ( 1 ... N )  C_  NN
9 eldioph2b 26945 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  NN  e.  _V )  /\  ( -.  NN  e.  Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  NN ) )  ->  ( A  e.  (Dioph `  N
)  <->  E. p  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) } ) )
106, 8, 9mpanr12 666 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  NN  e.  _V )  -> 
( A  e.  (Dioph `  N )  <->  E. p  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
112, 10mpan2 652 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  (Dioph `  N
)  <->  E. p  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) } ) )
121, 11biadan2 623 1  |-  ( A  e.  (Dioph `  N
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  E. p  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165    |` cres 4707   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   Fincfn 6879   0cc0 8753   1c1 8754   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ...cfz 10798  mzPolycmzp 26903  Diophcdioph 26937
This theorem is referenced by:  eldioph3  26948  eldiophss  26957  diophrex  26958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354  df-mzpcl 26904  df-mzp 26905  df-dioph 26938
  Copyright terms: Public domain W3C validator