Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldioph3b Unicode version

Theorem eldioph3b 26515
Description: Define Diophantine sets in terms of polynomials with variables indexed by  NN. This avoids a quantifier over the number of witness variables and will be easier to use than eldiophb 26507 in most cases. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eldioph3b  |-  ( A  e.  (Dioph `  N
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  E. p  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
Distinct variable groups:    A, p, t, u    N, p, t, u

Proof of Theorem eldioph3b
StepHypRef Expression
1 eldiophelnn0 26514 . 2  |-  ( A  e.  (Dioph `  N
)  ->  N  e.  NN0 )
2 nnex 9939 . . 3  |-  NN  e.  _V
3 1z 10244 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
4 nnuz 10454 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
54uzinf 11233 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -.  NN  e.  Fin )
63, 5ax-mp 8 . . . 4  |-  -.  NN  e.  Fin
7 elfznn 11013 . . . . 5  |-  ( p  e.  ( 1 ... N )  ->  p  e.  NN )
87ssriv 3296 . . . 4  |-  ( 1 ... N )  C_  NN
9 eldioph2b 26513 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  NN  e.  _V )  /\  ( -.  NN  e.  Fin  /\  ( 1 ... N )  C_  NN ) )  ->  ( A  e.  (Dioph `  N
)  <->  E. p  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) } ) )
106, 8, 9mpanr12 667 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  NN  e.  _V )  -> 
( A  e.  (Dioph `  N )  <->  E. p  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
112, 10mpan2 653 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  (Dioph `  N
)  <->  E. p  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N
) )  /\  (
p `  u )  =  0 ) } ) )
121, 11biadan2 624 1  |-  ( A  e.  (Dioph `  N
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  E. p  e.  (mzPoly `  NN ) A  =  { t  |  E. u  e.  ( NN0  ^m  NN ) ( t  =  ( u  |`  ( 1 ... N ) )  /\  ( p `  u )  =  0 ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2374   E.wrex 2651   _Vcvv 2900    C_ wss 3264    |` cres 4821   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    ^m cmap 6955   Fincfn 7046   0cc0 8924   1c1 8925   NNcn 9933   NN0cn0 10154   ZZcz 10215   ...cfz 10976  mzPolycmzp 26471  Diophcdioph 26505
This theorem is referenced by:  eldioph3  26516  eldiophss  26525  diophrex  26526
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977  df-hash 11547  df-mzpcl 26472  df-mzp 26473  df-dioph 26506
  Copyright terms: Public domain W3C validator