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Theorem eldioph4i 26043
Description: Forward-only version of eldioph4b 26042. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eldioph4b.a  |-  W  e. 
_V
eldioph4b.b  |-  -.  W  e.  Fin
eldioph4b.c  |-  ( W  i^i  NN )  =  (/)
Assertion
Ref Expression
eldioph4i  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  P  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `
 ( t  u.  w ) )  =  0 }  e.  (Dioph `  N ) )
Distinct variable groups:    t, W, w    t, N, w    t, P, w

Proof of Theorem eldioph4i
Dummy variables  a 
b  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uneq1 3356 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  a  ->  (
t  u.  w )  =  ( a  u.  w ) )
21fveq2d 5567 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  a  ->  ( P `  ( t  u.  w ) )  =  ( P `  (
a  u.  w ) ) )
32eqeq1d 2324 . . . . . . 7  |-  ( t  =  a  ->  (
( P `  (
t  u.  w ) )  =  0  <->  ( P `  ( a  u.  w ) )  =  0 ) )
43rexbidv 2598 . . . . . 6  |-  ( t  =  a  ->  ( E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `  ( t  u.  w ) )  =  0  <->  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( P `  ( a  u.  w
) )  =  0 ) )
5 uneq2 3357 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  b  ->  (
a  u.  w )  =  ( a  u.  b ) )
65fveq2d 5567 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  b  ->  ( P `  ( a  u.  w ) )  =  ( P `  (
a  u.  b ) ) )
76eqeq1d 2324 . . . . . . 7  |-  ( w  =  b  ->  (
( P `  (
a  u.  w ) )  =  0  <->  ( P `  ( a  u.  b ) )  =  0 ) )
87cbvrexv 2799 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  ( NN0 
^m  W ) ( P `  ( a  u.  w ) )  =  0  <->  E. b  e.  ( NN0  ^m  W
) ( P `  ( a  u.  b
) )  =  0 )
94, 8syl6bb 252 . . . . 5  |-  ( t  =  a  ->  ( E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `  ( t  u.  w ) )  =  0  <->  E. b  e.  ( NN0  ^m  W
) ( P `  ( a  u.  b
) )  =  0 ) )
109cbvrabv 2821 . . . 4  |-  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `
 ( t  u.  w ) )  =  0 }  =  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `  (
a  u.  b ) )  =  0 }
11 fveq1 5562 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  P  ->  (
p `  ( a  u.  b ) )  =  ( P `  (
a  u.  b ) ) )
1211eqeq1d 2324 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  P  ->  (
( p `  (
a  u.  b ) )  =  0  <->  ( P `  ( a  u.  b ) )  =  0 ) )
1312rexbidv 2598 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  ( E. b  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `  ( a  u.  b ) )  =  0  <->  E. b  e.  ( NN0  ^m  W
) ( P `  ( a  u.  b
) )  =  0 ) )
1413rabbidv 2814 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `
 ( a  u.  b ) )  =  0 }  =  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `  (
a  u.  b ) )  =  0 } )
1514eqeq2d 2327 . . . . 5  |-  ( p  =  P  ->  ( { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( P `  ( t  u.  w
) )  =  0 }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `
 ( a  u.  b ) )  =  0 }  <->  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( P `  ( t  u.  w
) )  =  0 }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `
 ( a  u.  b ) )  =  0 } ) )
1615rspcev 2918 . . . 4  |-  ( ( P  e.  (mzPoly `  ( W  u.  (
1 ... N ) ) )  /\  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `
 ( t  u.  w ) )  =  0 }  =  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `  (
a  u.  b ) )  =  0 } )  ->  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `  (
t  u.  w ) )  =  0 }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( a  u.  b
) )  =  0 } )
1710, 16mpan2 652 . . 3  |-  ( P  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) )  ->  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `  (
t  u.  w ) )  =  0 }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( a  u.  b
) )  =  0 } )
1817anim2i 552 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  P  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( N  e.  NN0  /\  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W
) ( P `  ( t  u.  w
) )  =  0 }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  W ) ( p `
 ( a  u.  b ) )  =  0 } ) )
19 eldioph4b.a . . 3  |-  W  e. 
_V
20 eldioph4b.b . . 3  |-  -.  W  e.  Fin
21 eldioph4b.c . . 3  |-  ( W  i^i  NN )  =  (/)
2219, 20, 21eldioph4b 26042 . 2  |-  ( { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `  (
t  u.  w ) )  =  0 }  e.  (Dioph `  N
)  <->  ( N  e. 
NN0  /\  E. p  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N
) ) ) { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `  (
t  u.  w ) )  =  0 }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  W
) ( p `  ( a  u.  b
) )  =  0 } ) )
2318, 22sylibr 203 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  P  e.  (mzPoly `  ( W  u.  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. w  e.  ( NN0  ^m  W ) ( P `
 ( t  u.  w ) )  =  0 }  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   E.wrex 2578   {crab 2581   _Vcvv 2822    u. cun 3184    i^i cin 3185   (/)c0 3489   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    ^m cmap 6815   Fincfn 6906   0cc0 8782   1c1 8783   NNcn 9791   NN0cn0 10012   ...cfz 10829  mzPolycmzp 25948  Diophcdioph 25982
This theorem is referenced by:  diophren  26044
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-card 7617  df-cda 7839  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830  df-hash 11385  df-mzpcl 25949  df-mzp 25950  df-dioph 25983
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