Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldmgm Unicode version

Theorem eldmgm 23694
Description: Elementhood in the set of non-nonpositive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
eldmgm  |-  ( A  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  <->  ( A  e.  CC  /\  -.  -u A  e.  NN0 ) )

Proof of Theorem eldmgm
StepHypRef Expression
1 eldif 3162 . 2  |-  ( A  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  <->  ( A  e.  CC  /\  -.  A  e.  ( ZZ  \  NN ) ) )
2 eldif 3162 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ  \  NN )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  -.  A  e.  NN ) )
3 elznn 10039 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ZZ  <->  ( A  e.  RR  /\  ( A  e.  NN  \/  -u A  e.  NN0 ) ) )
43simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  e.  NN  \/  -u A  e.  NN0 )
)
54orcanai 879 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  A  e.  NN )  ->  -u A  e.  NN0 )
6 negneg 9097 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
76adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u A  e.  NN0 )  -> 
-u -u A  =  A )
8 nn0negz 10057 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u A  e.  NN0  ->  -u -u A  e.  ZZ )
98adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u A  e.  NN0 )  -> 
-u -u A  e.  ZZ )
107, 9eqeltrrd 2358 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u A  e.  NN0 )  ->  A  e.  ZZ )
1110ex 423 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A  e.  NN0  ->  A  e.  ZZ ) )
12 nngt0 9775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
13 nnre 9753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
1413lt0neg2d 9343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  (
0  <  A  <->  -u A  <  0 ) )
1512, 14mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  -u A  <  0 )
1613renegcld 9210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  -u A  e.  RR )
17 0re 8838 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
18 ltnle 8902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u A  <  0  <->  -.  0  <_  -u A ) )
1916, 17, 18sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  ( -u A  <  0  <->  -.  0  <_  -u A ) )
2015, 19mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  -.  0  <_  -u A )
21 nn0ge0 9991 . . . . . . . . 9  |-  ( -u A  e.  NN0  ->  0  <_ 
-u A )
2220, 21nsyl3 111 . . . . . . . 8  |-  ( -u A  e.  NN0  ->  -.  A  e.  NN )
2322a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A  e.  NN0  ->  -.  A  e.  NN ) )
2411, 23jcad 519 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A  e.  NN0  ->  ( A  e.  ZZ  /\  -.  A  e.  NN ) ) )
255, 24impbid2 195 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  e.  ZZ  /\ 
-.  A  e.  NN ) 
<-> 
-u A  e.  NN0 ) )
262, 25syl5bb 248 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  ( ZZ  \  NN )  <->  -u A  e. 
NN0 ) )
2726notbid 285 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -.  A  e.  ( ZZ  \  NN )  <->  -.  -u A  e.  NN0 ) )
2827pm5.32i 618 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  A  e.  ( ZZ  \  NN ) )  <-> 
( A  e.  CC  /\ 
-.  -u A  e.  NN0 ) )
291, 28bitri 240 1  |-  ( A  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  <->  ( A  e.  CC  /\  -.  -u A  e.  NN0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    \ cdif 3149   class class class wbr 4023   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    < clt 8867    <_ cle 8868   -ucneg 9038   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024
This theorem is referenced by:  dmgmaddn0  23695
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025
  Copyright terms: Public domain W3C validator