Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldmgm Structured version   Unicode version

Theorem eldmgm 24798
Description: Elementhood in the set of non-nonpositive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
eldmgm  |-  ( A  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  <->  ( A  e.  CC  /\  -.  -u A  e.  NN0 ) )

Proof of Theorem eldmgm
StepHypRef Expression
1 eldif 3322 . 2  |-  ( A  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  <->  ( A  e.  CC  /\  -.  A  e.  ( ZZ  \  NN ) ) )
2 eldif 3322 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ  \  NN )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  -.  A  e.  NN ) )
3 elznn 10289 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ZZ  <->  ( A  e.  RR  /\  ( A  e.  NN  \/  -u A  e.  NN0 ) ) )
43simprbi 451 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  e.  NN  \/  -u A  e.  NN0 )
)
54orcanai 880 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  A  e.  NN )  ->  -u A  e.  NN0 )
6 negneg 9343 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
76adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u A  e.  NN0 )  -> 
-u -u A  =  A )
8 nn0negz 10307 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u A  e.  NN0  ->  -u -u A  e.  ZZ )
98adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u A  e.  NN0 )  -> 
-u -u A  e.  ZZ )
107, 9eqeltrrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u A  e.  NN0 )  ->  A  e.  ZZ )
1110ex 424 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A  e.  NN0  ->  A  e.  ZZ ) )
12 nngt0 10021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
13 nnre 9999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
1413lt0neg2d 9589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  (
0  <  A  <->  -u A  <  0 ) )
1512, 14mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  -u A  <  0 )
1613renegcld 9456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  -u A  e.  RR )
17 0re 9083 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
18 ltnle 9147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u A  <  0  <->  -.  0  <_  -u A ) )
1916, 17, 18sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  ( -u A  <  0  <->  -.  0  <_  -u A ) )
2015, 19mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  -.  0  <_  -u A )
21 nn0ge0 10239 . . . . . . . . 9  |-  ( -u A  e.  NN0  ->  0  <_ 
-u A )
2220, 21nsyl3 113 . . . . . . . 8  |-  ( -u A  e.  NN0  ->  -.  A  e.  NN )
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A  e.  NN0  ->  -.  A  e.  NN ) )
2411, 23jcad 520 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A  e.  NN0  ->  ( A  e.  ZZ  /\  -.  A  e.  NN ) ) )
255, 24impbid2 196 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  e.  ZZ  /\ 
-.  A  e.  NN ) 
<-> 
-u A  e.  NN0 ) )
262, 25syl5bb 249 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  ( ZZ  \  NN )  <->  -u A  e. 
NN0 ) )
2726notbid 286 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -.  A  e.  ( ZZ  \  NN )  <->  -.  -u A  e.  NN0 ) )
2827pm5.32i 619 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -.  A  e.  ( ZZ  \  NN ) )  <-> 
( A  e.  CC  /\ 
-.  -u A  e.  NN0 ) )
291, 28bitri 241 1  |-  ( A  e.  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) )  <->  ( A  e.  CC  /\  -.  -u A  e.  NN0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3309   class class class wbr 4204   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982    < clt 9112    <_ cle 9113   -ucneg 9284   NNcn 9992   NN0cn0 10213   ZZcz 10274
This theorem is referenced by:  dmgmaddn0  24799  dmlogdmgm  24800  dmgmaddnn0  24803  lgamgulmlem1  24805  lgamucov  24814
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275
  Copyright terms: Public domain W3C validator