Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eldprd Structured version   Unicode version

Theorem eldprd 15567
 Description: The domain of definition of the internal direct product, which states that is a family of subgroups that mutually commute and have trivial intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdval.0
dprdval.w
Assertion
Ref Expression
eldprd DProd DProd g
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem eldprd
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5760 . . . . 5 DProd DProd
2 df-ov 6087 . . . . 5 DProd DProd
31, 2eleq2s 2530 . . . 4 DProd DProd
4 df-br 4216 . . . 4 DProd DProd
53, 4sylibr 205 . . 3 DProd DProd
65pm4.71ri 616 . 2 DProd DProd DProd
7 dprdval.0 . . . . . . 7
8 dprdval.w . . . . . . 7
97, 8dprdval 15566 . . . . . 6 DProd DProd g
109eleq2d 2505 . . . . 5 DProd DProd g
11 eqid 2438 . . . . . 6 g g
12 ovex 6109 . . . . . 6 g
1311, 12elrnmpti 5124 . . . . 5 g g
1410, 13syl6bb 254 . . . 4 DProd DProd g
1514ancoms 441 . . 3 DProd DProd g
1615pm5.32da 624 . 2 DProd DProd DProd g
176, 16syl5bb 250 1 DProd DProd g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wrex 2708  crab 2711  cvv 2958   cdif 3319  csn 3816  cop 3819   class class class wbr 4215   cmpt 4269  ccnv 4880   cdm 4881   crn 4882  cima 4884  cfv 5457  (class class class)co 6084  cixp 7066  cfn 7112  c0g 13728   g cgsu 13729   DProd cdprd 15559 This theorem is referenced by:  dprdssv  15579  eldprdi  15581  dprdsubg  15587  dprdss  15592  dmdprdsplitlem  15600  dprddisj2  15602  dpjidcl  15621 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-ixp 7067  df-dprd 15561
 Copyright terms: Public domain W3C validator