Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eldprdi Structured version   Unicode version

Theorem eldprdi 15568
 Description: The domain of definition of the internal direct product, which states that is a family of subgroups that mutually commute and have trivial intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0
eldprdi.w
eldprdi.1 DProd
eldprdi.2
eldprdi.3
Assertion
Ref Expression
eldprdi g DProd
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,)   ()

Proof of Theorem eldprdi
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.1 . 2 DProd
2 eldprdi.3 . . 3
3 eqid 2435 . . 3 g g
4 oveq2 6081 . . . . 5 g g
54eqeq2d 2446 . . . 4 g g g g
65rspcev 3044 . . 3 g g g g
72, 3, 6sylancl 644 . 2 g g
8 eldprdi.2 . . 3
9 eldprdi.0 . . . 4
10 eldprdi.w . . . 4
119, 10eldprd 15554 . . 3 g DProd DProd g g
128, 11syl 16 . 2 g DProd DProd g g
131, 7, 12mpbir2and 889 1 g DProd
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2698  crab 2701  cvv 2948   cdif 3309  csn 3806   class class class wbr 4204  ccnv 4869   cdm 4870  cima 4873  cfv 5446  (class class class)co 6073  cixp 7055  cfn 7101  c0g 13715   g cgsu 13716   DProd cdprd 15546 This theorem is referenced by:  dprdfsub  15571  dprdf11  15573  dprdsubg  15574  dprdub  15575  dpjidcl  15608 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-ixp 7056  df-dprd 15548
 Copyright terms: Public domain W3C validator