MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eldv Structured version   Unicode version

Theorem eldv 19790
Description: The differentiable predicate. A function  F is differentiable at  B with derivative  C iff  F is defined in a neighborhood of  B and the difference quotient has limit  C at  B. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvval.t  |-  T  =  ( Kt  S )
dvval.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
eldv.g  |-  G  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) )
eldv.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
eldv.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
eldv.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
Assertion
Ref Expression
eldv  |-  ( ph  ->  ( B ( S  _D  F ) C  <-> 
( B  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  C  e.  ( G lim CC  B ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, B    z, F    z, C    z, K    z, S
Allowed substitution hints:    ph( z)    T( z)    G( z)

Proof of Theorem eldv
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldv.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
2 eldv.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
3 eldv.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
4 dvval.t . . . . . 6  |-  T  =  ( Kt  S )
5 dvval.k . . . . . 6  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
64, 5dvfval 19789 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  (
( S  _D  F
)  =  U_ x  e.  ( ( int `  T
) `  A )
( { x }  X.  ( ( z  e.  ( A  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )  /\  ( S  _D  F )  C_  ( ( ( int `  T ) `  A
)  X.  CC ) ) )
71, 2, 3, 6syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F )  =  U_ x  e.  ( ( int `  T ) `  A ) ( { x }  X.  (
( z  e.  ( A  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) )  /\  ( S  _D  F )  C_  (
( ( int `  T
) `  A )  X.  CC ) ) )
87simpld 447 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
)  =  U_ x  e.  ( ( int `  T
) `  A )
( { x }  X.  ( ( z  e.  ( A  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) )
98eleq2d 2505 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. B ,  C >.  e.  ( S  _D  F )  <->  <. B ,  C >.  e.  U_ x  e.  ( ( int `  T
) `  A )
( { x }  X.  ( ( z  e.  ( A  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) ) )
10 df-br 4216 . . 3  |-  ( B ( S  _D  F
) C  <->  <. B ,  C >.  e.  ( S  _D  F ) )
1110bicomi 195 . 2  |-  ( <. B ,  C >.  e.  ( S  _D  F
)  <->  B ( S  _D  F ) C )
12 sneq 3827 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  { x }  =  { B } )
1312difeq2d 3467 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( A  \  { x }
)  =  ( A 
\  { B }
) )
14 fveq2 5731 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
1514oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) )
16 oveq2 6092 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
z  -  x )  =  ( z  -  B ) )
1715, 16oveq12d 6102 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) )  =  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) )  / 
( z  -  B
) ) )
1813, 17mpteq12dv 4290 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
z  e.  ( A 
\  { x }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) )
19 eldv.g . . . . 5  |-  G  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) )
2018, 19syl6eqr 2488 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
z  e.  ( A 
\  { x }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  =  G )
21 id 21 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  x  =  B )
2220, 21oveq12d 6102 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( z  e.  ( A  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x )  =  ( G lim CC  B
) )
2322opeliunxp2 5016 . 2  |-  ( <. B ,  C >.  e. 
U_ x  e.  ( ( int `  T
) `  A )
( { x }  X.  ( ( z  e.  ( A  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )  <->  ( B  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  C  e.  ( G lim CC  B ) ) )
249, 11, 233bitr3g 280 1  |-  ( ph  ->  ( B ( S  _D  F ) C  <-> 
( B  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  C  e.  ( G lim CC  B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    \ cdif 3319    C_ wss 3322   {csn 3816   <.cop 3819   U_ciun 4095   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269    X. cxp 4879   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993    - cmin 9296    / cdiv 9682   ↾t crest 13653   TopOpenctopn 13654  ℂfldccnfld 16708   intcnt 17086   lim CC climc 19754    _D cdv 19755
This theorem is referenced by:  dvcl  19791  perfdvf  19795  dvreslem  19801  dvres2lem  19802  dvidlem  19807  dvcnp  19810  dvcnp2  19811  dvaddbr  19829  dvmulbr  19830  dvcobr  19837  dvcjbr  19840  dvrec  19846  dvcnvlem  19865  dveflem  19868  dvferm1  19874  dvferm2  19876  ftc1  19931  taylthlem1  20294  ulmdvlem3  20323  ftc1cnnc  26293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-fz 11049  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cnp 17297  df-xms 18355  df-ms 18356  df-limc 19758  df-dv 19759
  Copyright terms: Public domain W3C validator