MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eldv Structured version   Unicode version

Theorem eldv 19777
Description: The differentiable predicate. A function  F is differentiable at  B with derivative  C iff  F is defined in a neighborhood of  B and the difference quotient has limit  C at  B. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvval.t  |-  T  =  ( Kt  S )
dvval.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
eldv.g  |-  G  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) )
eldv.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
eldv.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
eldv.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
Assertion
Ref Expression
eldv  |-  ( ph  ->  ( B ( S  _D  F ) C  <-> 
( B  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  C  e.  ( G lim CC  B ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, B    z, F    z, C    z, K    z, S
Allowed substitution hints:    ph( z)    T( z)    G( z)

Proof of Theorem eldv
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldv.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
2 eldv.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
3 eldv.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
4 dvval.t . . . . . 6  |-  T  =  ( Kt  S )
5 dvval.k . . . . . 6  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
64, 5dvfval 19776 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  (
( S  _D  F
)  =  U_ x  e.  ( ( int `  T
) `  A )
( { x }  X.  ( ( z  e.  ( A  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )  /\  ( S  _D  F )  C_  ( ( ( int `  T ) `  A
)  X.  CC ) ) )
71, 2, 3, 6syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F )  =  U_ x  e.  ( ( int `  T ) `  A ) ( { x }  X.  (
( z  e.  ( A  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) )  /\  ( S  _D  F )  C_  (
( ( int `  T
) `  A )  X.  CC ) ) )
87simpld 446 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
)  =  U_ x  e.  ( ( int `  T
) `  A )
( { x }  X.  ( ( z  e.  ( A  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) )
98eleq2d 2502 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. B ,  C >.  e.  ( S  _D  F )  <->  <. B ,  C >.  e.  U_ x  e.  ( ( int `  T
) `  A )
( { x }  X.  ( ( z  e.  ( A  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) ) )
10 df-br 4205 . . 3  |-  ( B ( S  _D  F
) C  <->  <. B ,  C >.  e.  ( S  _D  F ) )
1110bicomi 194 . 2  |-  ( <. B ,  C >.  e.  ( S  _D  F
)  <->  B ( S  _D  F ) C )
12 sneq 3817 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  { x }  =  { B } )
1312difeq2d 3457 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( A  \  { x }
)  =  ( A 
\  { B }
) )
14 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
1514oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 z )  -  ( F `  B ) ) )
16 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
z  -  x )  =  ( z  -  B ) )
1715, 16oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) )  =  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  B ) )  / 
( z  -  B
) ) )
1813, 17mpteq12dv 4279 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
z  e.  ( A 
\  { x }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) ) )
19 eldv.g . . . . 5  |-  G  =  ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 B ) )  /  ( z  -  B ) ) )
2018, 19syl6eqr 2485 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
z  e.  ( A 
\  { x }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  =  G )
21 id 20 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  x  =  B )
2220, 21oveq12d 6091 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( z  e.  ( A  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x )  =  ( G lim CC  B
) )
2322opeliunxp2 5005 . 2  |-  ( <. B ,  C >.  e. 
U_ x  e.  ( ( int `  T
) `  A )
( { x }  X.  ( ( z  e.  ( A  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )  <->  ( B  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  C  e.  ( G lim CC  B ) ) )
249, 11, 233bitr3g 279 1  |-  ( ph  ->  ( B ( S  _D  F ) C  <-> 
( B  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  C  e.  ( G lim CC  B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3309    C_ wss 3312   {csn 3806   <.cop 3809   U_ciun 4085   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980    - cmin 9283    / cdiv 9669   ↾t crest 13640   TopOpenctopn 13641  ℂfldccnfld 16695   intcnt 17073   lim CC climc 19741    _D cdv 19742
This theorem is referenced by:  dvcl  19778  perfdvf  19782  dvreslem  19788  dvres2lem  19789  dvidlem  19794  dvcnp  19797  dvcnp2  19798  dvaddbr  19816  dvmulbr  19817  dvcobr  19824  dvcjbr  19827  dvrec  19833  dvcnvlem  19852  dveflem  19855  dvferm1  19861  dvferm2  19863  ftc1  19918  taylthlem1  20281  ulmdvlem3  20310  ftc1cnnc  26269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cnp 17284  df-xms 18342  df-ms 18343  df-limc 19745  df-dv 19746
  Copyright terms: Public domain W3C validator