Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elfilspd Structured version   Unicode version

Theorem elfilspd 27234
Description: Simplified version of ellspd 27233 when the spanning set is finite: all linear combinations are then acceptable. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ellspd.n  |-  N  =  ( LSpan `  M )
ellspd.v  |-  B  =  ( Base `  M
)
ellspd.k  |-  K  =  ( Base `  S
)
ellspd.s  |-  S  =  (Scalar `  M )
ellspd.z  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
ellspd.t  |-  .x.  =  ( .s `  M )
elfilspd.f  |-  ( ph  ->  F : I --> B )
elfilspd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  LMod )
elfilspd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
elfilspd  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  ( F
" I ) )  <->  E. f  e.  ( K  ^m  I ) X  =  ( M  gsumg  ( f  o F  .x.  F
) ) ) )
Distinct variable groups:    f, M    B, f    f, N    f, K    S, f    .0. , f    .x. , f    f, F    f, I    f, X    ph, f

Proof of Theorem elfilspd
StepHypRef Expression
1 ellspd.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  M )
2 ellspd.v . . 3  |-  B  =  ( Base `  M
)
3 ellspd.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  S
)
4 ellspd.s . . 3  |-  S  =  (Scalar `  M )
5 ellspd.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
6 ellspd.t . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  M )
7 elfilspd.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : I --> B )
8 elfilspd.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  LMod )
9 elfilspd.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
10 elex 2966 . . . 4  |-  ( I  e.  Fin  ->  I  e.  _V )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11ellspd 27233 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  ( F
" I ) )  <->  E. f  e.  ( K  ^m  I ) ( ( `' f "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  /\  X  =  ( M  gsumg  ( f  o F 
.x.  F ) ) ) ) )
139adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( K  ^m  I ) )  ->  I  e.  Fin )
14 fvex 5744 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  S )  e.  _V
153, 14eqeltri 2508 . . . . . . 7  |-  K  e. 
_V
16 elmapg 7033 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  _V  /\  I  e.  Fin )  ->  ( f  e.  ( K  ^m  I )  <-> 
f : I --> K ) )
1715, 9, 16sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( K  ^m  I )  <-> 
f : I --> K ) )
1817biimpa 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( K  ^m  I ) )  ->  f :
I --> K )
1913, 18fisuppfi 14775 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( K  ^m  I ) )  ->  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
2019biantrurd 496 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( K  ^m  I ) )  ->  ( X  =  ( M  gsumg  ( f  o F  .x.  F
) )  <->  ( ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin  /\  X  =  ( M 
gsumg  ( f  o F 
.x.  F ) ) ) ) )
2120rexbidva 2724 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. f  e.  ( K  ^m  I
) X  =  ( M  gsumg  ( f  o F 
.x.  F ) )  <->  E. f  e.  ( K  ^m  I ) ( ( `' f "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  /\  X  =  ( M  gsumg  ( f  o F 
.x.  F ) ) ) ) )
2212, 21bitr4d 249 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  ( F
" I ) )  <->  E. f  e.  ( K  ^m  I ) X  =  ( M  gsumg  ( f  o F  .x.  F
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    \ cdif 3319   {csn 3816   `'ccnv 4879   "cima 4883   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    o Fcof 6305    ^m cmap 7020   Fincfn 7111   Basecbs 13471  Scalarcsca 13534   .scvsca 13535   0gc0g 13725    gsumg cgsu 13726   LModclmod 15952   LSpanclspn 16049
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-hash 11621  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-hom 13555  df-cco 13556  df-prds 13673  df-pws 13675  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-ghm 15006  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-subrg 15868  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-lmhm 16100  df-lbs 16149  df-sra 16246  df-rgmod 16247  df-nzr 16331  df-dsmm 27177  df-frlm 27193  df-uvc 27194
  Copyright terms: Public domain W3C validator