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Theorem elfm2 17972
Description: An element of a mapping filter. (Contributed by Jeff Hankins, 26-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
elfm2.l  |-  L  =  ( Y filGen B )
Assertion
Ref Expression
elfm2  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B )  <->  ( A  C_  X  /\  E. x  e.  L  ( F " x )  C_  A
) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, C    x, F    x, X    x, A    x, L    x, Y

Proof of Theorem elfm2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfm 17971 . 2  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B )  <->  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  B  ( F " y )  C_  A
) ) )
2 ssfg 17896 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  C_  ( Y filGen B ) )
3 elfm2.l . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( Y filGen B )
42, 3syl6sseqr 3387 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  C_  L
)
54sselda 3340 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  L )
65adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  (
y  e.  B  /\  ( F " y ) 
C_  A ) )  ->  y  e.  L
)
763ad2antl2 1120 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( y  e.  B  /\  ( F
" y )  C_  A ) )  -> 
y  e.  L )
8 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( y  e.  B  /\  ( F
" y )  C_  A ) )  -> 
( F " y
)  C_  A )
9 imaeq2 5191 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( F " x )  =  ( F " y
) )
109sseq1d 3367 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( F " x
)  C_  A  <->  ( F " y )  C_  A
) )
1110rspcev 3044 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  L  /\  ( F " y ) 
C_  A )  ->  E. x  e.  L  ( F " x ) 
C_  A )
127, 8, 11syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( y  e.  B  /\  ( F
" y )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  L  ( F " x ) 
C_  A )
1312rexlimdvaa 2823 . . . 4  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( E. y  e.  B  ( F "
y )  C_  A  ->  E. x  e.  L  ( F " x ) 
C_  A ) )
143eleq2i 2499 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  L  <->  x  e.  ( Y filGen B ) )
15 elfg 17895 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( x  e.  ( Y filGen B )  <-> 
( x  C_  Y  /\  E. y  e.  B  y  C_  x ) ) )
1614, 15syl5bb 249 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( x  e.  L  <->  ( x  C_  Y  /\  E. y  e.  B  y  C_  x
) ) )
17163ad2ant2 979 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( x  e.  L  <->  ( x  C_  Y  /\  E. y  e.  B  y 
C_  x ) ) )
18 imass2 5232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  x  ->  ( F " y )  C_  ( F " x ) )
19 sstr2 3347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F " y ) 
C_  ( F "
x )  ->  (
( F " x
)  C_  A  ->  ( F " y ) 
C_  A ) )
2019com12 29 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F " x ) 
C_  A  ->  (
( F " y
)  C_  ( F " x )  ->  ( F " y )  C_  A ) )
2120ad2antll 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  C_  Y  /\  ( F "
x )  C_  A
) )  ->  (
( F " y
)  C_  ( F " x )  ->  ( F " y )  C_  A ) )
2218, 21syl5 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  C_  Y  /\  ( F "
x )  C_  A
) )  ->  (
y  C_  x  ->  ( F " y ) 
C_  A ) )
2322reximdv 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  C_  Y  /\  ( F "
x )  C_  A
) )  ->  ( E. y  e.  B  y  C_  x  ->  E. y  e.  B  ( F " y )  C_  A
) )
2423expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  x  C_  Y
)  ->  ( ( F " x )  C_  A  ->  ( E. y  e.  B  y  C_  x  ->  E. y  e.  B  ( F " y ) 
C_  A ) ) )
2524com23 74 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  x  C_  Y
)  ->  ( E. y  e.  B  y  C_  x  ->  ( ( F " x )  C_  A  ->  E. y  e.  B  ( F " y ) 
C_  A ) ) )
2625expimpd 587 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( x  C_  Y  /\  E. y  e.  B  y  C_  x
)  ->  ( ( F " x )  C_  A  ->  E. y  e.  B  ( F " y ) 
C_  A ) ) )
2717, 26sylbid 207 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( x  e.  L  ->  ( ( F "
x )  C_  A  ->  E. y  e.  B  ( F " y ) 
C_  A ) ) )
2827rexlimdv 2821 . . . 4  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( E. x  e.  L  ( F "
x )  C_  A  ->  E. y  e.  B  ( F " y ) 
C_  A ) )
2913, 28impbid 184 . . 3  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( E. y  e.  B  ( F "
y )  C_  A  <->  E. x  e.  L  ( F " x ) 
C_  A ) )
3029anbi2d 685 . 2  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( A  C_  X  /\  E. y  e.  B  ( F "
y )  C_  A
)  <->  ( A  C_  X  /\  E. x  e.  L  ( F "
x )  C_  A
) ) )
311, 30bitrd 245 1  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B )  <->  ( A  C_  X  /\  E. x  e.  L  ( F " x )  C_  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698    C_ wss 3312   "cima 4873   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   fBascfbas 16681   filGencfg 16682    FilMap cfm 17957
This theorem is referenced by:  fmfg  17973  elfm3  17974  imaelfm  17975
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-fm 17962
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