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Theorem elfm2 17643
Description: An element of a mapping filter. (Contributed by Jeff Hankins, 26-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
elfm2.l  |-  L  =  ( Y filGen B )
Assertion
Ref Expression
elfm2  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B )  <->  ( A  C_  X  /\  E. x  e.  L  ( F " x )  C_  A
) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, C    x, F    x, X    x, A    x, L    x, Y

Proof of Theorem elfm2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfm 17642 . 2  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B )  <->  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  B  ( F " y )  C_  A
) ) )
2 ssfg 17567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  C_  ( Y filGen B ) )
3 elfm2.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  =  ( Y filGen B )
42, 3syl6sseqr 3225 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  C_  L
)
54sselda 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  L )
65adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  (
y  e.  B  /\  ( F " y ) 
C_  A ) )  ->  y  e.  L
)
763ad2antl2 1118 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( y  e.  B  /\  ( F
" y )  C_  A ) )  -> 
y  e.  L )
8 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( y  e.  B  /\  ( F
" y )  C_  A ) )  -> 
( F " y
)  C_  A )
9 imaeq2 5008 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( F " x )  =  ( F " y
) )
109sseq1d 3205 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( F " x
)  C_  A  <->  ( F " y )  C_  A
) )
1110rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  L  /\  ( F " y ) 
C_  A )  ->  E. x  e.  L  ( F " x ) 
C_  A )
127, 8, 11syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( y  e.  B  /\  ( F
" y )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  L  ( F " x ) 
C_  A )
1312exp32 588 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( y  e.  B  ->  ( ( F "
y )  C_  A  ->  E. x  e.  L  ( F " x ) 
C_  A ) ) )
1413rexlimdv 2666 . . . 4  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( E. y  e.  B  ( F "
y )  C_  A  ->  E. x  e.  L  ( F " x ) 
C_  A ) )
153eleq2i 2347 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  L  <->  x  e.  ( Y filGen B ) )
16 elfg 17566 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( x  e.  ( Y filGen B )  <-> 
( x  C_  Y  /\  E. y  e.  B  y  C_  x ) ) )
1715, 16syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( x  e.  L  <->  ( x  C_  Y  /\  E. y  e.  B  y  C_  x
) ) )
18173ad2ant2 977 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( x  e.  L  <->  ( x  C_  Y  /\  E. y  e.  B  y 
C_  x ) ) )
19 imass2 5049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  x  ->  ( F " y )  C_  ( F " x ) )
20 sstr2 3186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F " y ) 
C_  ( F "
x )  ->  (
( F " x
)  C_  A  ->  ( F " y ) 
C_  A ) )
2120com12 27 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F " x ) 
C_  A  ->  (
( F " y
)  C_  ( F " x )  ->  ( F " y )  C_  A ) )
2221ad2antll 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  C_  Y  /\  ( F "
x )  C_  A
) )  ->  (
( F " y
)  C_  ( F " x )  ->  ( F " y )  C_  A ) )
2319, 22syl5 28 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  C_  Y  /\  ( F "
x )  C_  A
) )  ->  (
y  C_  x  ->  ( F " y ) 
C_  A ) )
2423reximdv 2654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  C_  Y  /\  ( F "
x )  C_  A
) )  ->  ( E. y  e.  B  y  C_  x  ->  E. y  e.  B  ( F " y )  C_  A
) )
2524expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  x  C_  Y
)  ->  ( ( F " x )  C_  A  ->  ( E. y  e.  B  y  C_  x  ->  E. y  e.  B  ( F " y ) 
C_  A ) ) )
2625com23 72 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  x  C_  Y
)  ->  ( E. y  e.  B  y  C_  x  ->  ( ( F " x )  C_  A  ->  E. y  e.  B  ( F " y ) 
C_  A ) ) )
2726expimpd 586 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( x  C_  Y  /\  E. y  e.  B  y  C_  x
)  ->  ( ( F " x )  C_  A  ->  E. y  e.  B  ( F " y ) 
C_  A ) ) )
2818, 27sylbid 206 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( x  e.  L  ->  ( ( F "
x )  C_  A  ->  E. y  e.  B  ( F " y ) 
C_  A ) ) )
2928rexlimdv 2666 . . . 4  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( E. x  e.  L  ( F "
x )  C_  A  ->  E. y  e.  B  ( F " y ) 
C_  A ) )
3014, 29impbid 183 . . 3  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( E. y  e.  B  ( F "
y )  C_  A  <->  E. x  e.  L  ( F " x ) 
C_  A ) )
3130anbi2d 684 . 2  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( A  C_  X  /\  E. y  e.  B  ( F "
y )  C_  A
)  <->  ( A  C_  X  /\  E. x  e.  L  ( F "
x )  C_  A
) ) )
321, 31bitrd 244 1  |-  ( ( X  e.  C  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B )  <->  ( A  C_  X  /\  E. x  e.  L  ( F " x )  C_  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    C_ wss 3152   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   fBascfbas 17518   filGencfg 17519    FilMap cfm 17628
This theorem is referenced by:  fmfg  17644  elfm3  17645  imaelfm  17646
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fm 17633
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