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Theorem elfm3 17858
Description: An alternate formulation of elementhood in a mapping filter that requires  F to be onto. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Oct-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
elfm2.l  |-  L  =  ( Y filGen B )
Assertion
Ref Expression
elfm3  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B )  <->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, F    x, X    x, A    x, L    x, Y

Proof of Theorem elfm3
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 foima 5562 . . . 4  |-  ( F : Y -onto-> X  -> 
( F " Y
)  =  X )
21adantl 452 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( F " Y )  =  X )
3 fofun 5558 . . . 4  |-  ( F : Y -onto-> X  ->  Fun  F )
4 elfvdm 5661 . . . 4  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  Y  e.  dom  fBas )
5 funimaexg 5434 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  Y  e.  dom  fBas )  ->  ( F " Y )  e. 
_V )
63, 4, 5syl2anr 464 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( F " Y )  e. 
_V )
72, 6eqeltrrd 2441 . 2  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  X  e.  _V )
8 fof 5557 . . . . 5  |-  ( F : Y -onto-> X  ->  F : Y --> X )
9 elfm2.l . . . . . 6  |-  L  =  ( Y filGen B )
109elfm2 17856 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B )  <->  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  L  ( F " y )  C_  A
) ) )
118, 10syl3an3 1218 . . . 4  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B )  <->  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  L  ( F " y )  C_  A
) ) )
12 fgcl 17786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen B )  e.  ( Fil `  Y ) )
139, 12syl5eqel 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  L  e.  ( Fil `  Y ) )
14133ad2ant2 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  L  e.  ( Fil `  Y
) )
1514ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  ( y  e.  L  /\  ( F " y )  C_  A ) )  ->  L  e.  ( Fil `  Y ) )
16 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  ( y  e.  L  /\  ( F " y )  C_  A ) )  -> 
y  e.  L )
17 cnvimass 5136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F " A ) 
C_  dom  F
18 fofn 5559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : Y -onto-> X  ->  F  Fn  Y )
19 fndm 5448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  Y  ->  dom  F  =  Y )
2018, 19syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : Y -onto-> X  ->  dom  F  =  Y )
2117, 20syl5sseq 3312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Y -onto-> X  -> 
( `' F " A )  C_  Y
)
22213ad2ant3 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( `' F " A ) 
C_  Y )
2322ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  ( y  e.  L  /\  ( F " y )  C_  A ) )  -> 
( `' F " A )  C_  Y
)
2433ad2ant3 979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  Fun  F )
2524ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  y  e.  L )  ->  Fun  F )
269eleq2i 2430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  L  <->  y  e.  ( Y filGen B ) )
27 elfg 17779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( y  e.  ( Y filGen B )  <-> 
( y  C_  Y  /\  E. z  e.  B  z  C_  y ) ) )
28273ad2ant2 978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  (
y  e.  ( Y
filGen B )  <->  ( y  C_  Y  /\  E. z  e.  B  z  C_  y ) ) )
2928adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  A  C_  X )  ->  (
y  e.  ( Y
filGen B )  <->  ( y  C_  Y  /\  E. z  e.  B  z  C_  y ) ) )
3026, 29syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  A  C_  X )  ->  (
y  e.  L  <->  ( y  C_  Y  /\  E. z  e.  B  z  C_  y ) ) )
3130simprbda 606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  y  e.  L )  ->  y  C_  Y )
32 sseq2 3286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dom 
F  =  Y  -> 
( y  C_  dom  F  <-> 
y  C_  Y )
)
3332biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( dom  F  =  Y  /\  y  C_  Y
)  ->  y  C_  dom  F )
3420, 33sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : Y -onto-> X  /\  y  C_  Y )  ->  y  C_  dom  F )
35343ad2antl3 1120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  y  C_  Y )  ->  y  C_ 
dom  F )
3635adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  y  C_  Y )  ->  y  C_ 
dom  F )
3731, 36syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  y  e.  L )  ->  y  C_ 
dom  F )
38 funimass3 5748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  y  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F "
y )  C_  A  <->  y 
C_  ( `' F " A ) ) )
3925, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  y  e.  L )  ->  (
( F " y
)  C_  A  <->  y  C_  ( `' F " A ) ) )
4039biimpd 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  y  e.  L )  ->  (
( F " y
)  C_  A  ->  y 
C_  ( `' F " A ) ) )
4140impr 602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  ( y  e.  L  /\  ( F " y )  C_  A ) )  -> 
y  C_  ( `' F " A ) )
42 filss 17761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  (
y  e.  L  /\  ( `' F " A ) 
C_  Y  /\  y  C_  ( `' F " A ) ) )  ->  ( `' F " A )  e.  L
)
4315, 16, 23, 41, 42syl13anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  ( y  e.  L  /\  ( F " y )  C_  A ) )  -> 
( `' F " A )  e.  L
)
44 foimacnv 5596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : Y -onto-> X  /\  A  C_  X )  ->  ( F "
( `' F " A ) )  =  A )
4544eqcomd 2371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : Y -onto-> X  /\  A  C_  X )  ->  A  =  ( F " ( `' F " A ) ) )
46453ad2antl3 1120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  A  C_  X )  ->  A  =  ( F "
( `' F " A ) ) )
4746adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  ( y  e.  L  /\  ( F " y )  C_  A ) )  ->  A  =  ( F " ( `' F " A ) ) )
48 imaeq2 5111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' F " A )  ->  ( F " x )  =  ( F " ( `' F " A ) ) )
4948eqeq2d 2377 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' F " A )  ->  ( A  =  ( F " x )  <->  A  =  ( F " ( `' F " A ) ) ) )
5049rspcev 2969 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' F " A )  e.  L  /\  A  =  ( F " ( `' F " A ) ) )  ->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) )
5143, 47, 50syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X
)  /\  A  C_  X
)  /\  ( y  e.  L  /\  ( F " y )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) )
5251exp32 588 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  A  C_  X )  ->  (
y  e.  L  -> 
( ( F "
y )  C_  A  ->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) ) ) )
5352rexlimdv 2751 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  A  C_  X )  ->  ( E. y  e.  L  ( F " y ) 
C_  A  ->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) ) )
5453expimpd 586 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  (
( A  C_  X  /\  E. y  e.  L  ( F " y ) 
C_  A )  ->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) ) )
55 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  (
x  e.  L  /\  A  =  ( F " x ) ) )  ->  A  =  ( F " x ) )
56 imassrn 5128 . . . . . . . . . 10  |-  ( F
" x )  C_  ran  F
57 forn 5560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Y -onto-> X  ->  ran  F  =  X )
58573ad2ant3 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ran  F  =  X )
5958adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  (
x  e.  L  /\  A  =  ( F " x ) ) )  ->  ran  F  =  X )
6056, 59syl5sseq 3312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  (
x  e.  L  /\  A  =  ( F " x ) ) )  ->  ( F "
x )  C_  X
)
6155, 60eqsstrd 3298 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  (
x  e.  L  /\  A  =  ( F " x ) ) )  ->  A  C_  X
)
62 eqimss2 3317 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  ( F "
x )  ->  ( F " x )  C_  A )
63 imaeq2 5111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  ( F " y )  =  ( F " x
) )
6463sseq1d 3291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( F " y
)  C_  A  <->  ( F " x )  C_  A
) )
6564rspcev 2969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  L  /\  ( F " x ) 
C_  A )  ->  E. y  e.  L  ( F " y ) 
C_  A )
6662, 65sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  L  /\  A  =  ( F " x ) )  ->  E. y  e.  L  ( F " y ) 
C_  A )
6766adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  (
x  e.  L  /\  A  =  ( F " x ) ) )  ->  E. y  e.  L  ( F " y ) 
C_  A )
6861, 67jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  /\  (
x  e.  L  /\  A  =  ( F " x ) ) )  ->  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  L  ( F "
y )  C_  A
) )
6968exp32 588 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  (
x  e.  L  -> 
( A  =  ( F " x )  ->  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  L  ( F "
y )  C_  A
) ) ) )
7069rexlimdv 2751 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( E. x  e.  L  A  =  ( F " x )  ->  ( A  C_  X  /\  E. y  e.  L  ( F " y )  C_  A ) ) )
7154, 70impbid 183 . . . 4  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  (
( A  C_  X  /\  E. y  e.  L  ( F " y ) 
C_  A )  <->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) ) )
7211, 71bitrd 244 . . 3  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B )  <->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) ) )
73723coml 1159 . 2  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X  /\  X  e. 
_V )  ->  ( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B )  <->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) ) )
747, 73mpd3an3 1279 1  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( A  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B )  <->  E. x  e.  L  A  =  ( F " x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   E.wrex 2629   _Vcvv 2873    C_ wss 3238   `'ccnv 4791   dom cdm 4792   ran crn 4793   "cima 4795   Fun wfun 5352    Fn wfn 5353   -->wf 5354   -onto->wfo 5356   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   fBascfbas 16582   filGencfg 16583   Filcfil 17753    FilMap cfm 17841
This theorem is referenced by:  fmid  17868
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-fbas 16590  df-fg 16591  df-fil 17754  df-fm 17846
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