MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfvdm Structured version   Unicode version

Theorem elfvdm 5749
Description: If a function value has a member, the argument belongs to the domain. (Contributed by NM, 12-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
elfvdm  |-  ( A  e.  ( F `  B )  ->  B  e.  dom  F )

Proof of Theorem elfvdm
StepHypRef Expression
1 ne0i 3626 . 2  |-  ( A  e.  ( F `  B )  ->  ( F `  B )  =/=  (/) )
2 ndmfv 5747 . . 3  |-  ( -.  B  e.  dom  F  ->  ( F `  B
)  =  (/) )
32necon1ai 2640 . 2  |-  ( ( F `  B )  =/=  (/)  ->  B  e.  dom  F )
41, 3syl 16 1  |-  ( A  e.  ( F `  B )  ->  B  e.  dom  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725    =/= wne 2598   (/)c0 3620   dom cdm 4870   ` cfv 5446
This theorem is referenced by:  elfvex  5750  eldmrexrnb  5869  elmpt2cl  6280  mpt2xopn0yelv  6456  mpt2xopxnop0  6458  r1pwss  7702  rankwflemb  7711  r1elwf  7714  rankr1ai  7716  rankdmr1  7719  rankr1ag  7720  rankr1c  7739  r1pwcl  7765  cardne  7844  cardsdomelir  7852  r1wunlim  8604  eluzel2  10485  bitsval  12928  acsfiel  13871  subcrcl  14008  homarcl2  14182  arwrcl  14191  pleval2i  14413  acsdrscl  14588  acsficl  14589  submrcl  14739  gsumws1  14777  issubg  14936  isnsg  14961  cntzrcl  15118  eldprd  15554  isunit  15754  isirred  15796  issubrg  15860  abvrcl  15901  lbsss  16141  lbssp  16143  lbsind  16144  elocv  16887  cssi  16903  isobs  16939  eltg4i  17017  eltg3  17019  tg1  17021  tg2  17022  cldrcl  17082  neiss2  17157  lmrcl  17287  iscnp2  17295  kgeni  17561  kqtop  17769  elmptrab  17851  fbasne0  17854  0nelfb  17855  fbsspw  17856  fbasssin  17860  fbun  17864  trfbas2  17867  trfbas  17868  isfil  17871  filss  17877  fbasweak  17889  fgval  17894  elfg  17895  fgcl  17902  isufil  17927  ufilss  17929  trufil  17934  fmval  17967  elfm3  17974  fmfnfmlem4  17981  fmfnfm  17982  elrnust  18246  metflem  18350  xmetf  18351  xmeteq0  18360  xmettri2  18362  xmetres2  18383  blfvalps  18405  blvalps  18407  blval  18408  blfps  18428  blf  18429  isxms2  18470  tmslem  18504  metuvalOLD  18571  metuval  18572  isphtpc  19011  lmmbr2  19204  lmmbrf  19207  cfili  19213  fmcfil  19217  cfilfcls  19219  iscau2  19222  iscauf  19225  caucfil  19228  cmetcaulem  19233  iscmet3  19238  cfilresi  19240  caussi  19242  causs  19243  metcld2  19251  cmetss  19259  bcthlem1  19269  bcth3  19276  cpncn  19814  cpnres  19815  plybss  20105  2trllemF  21541  constr1trl  21580  issubgo  21883  elunirn2  24055  metidval  24277  pstmval  24282  brsiga  24529  measbase  24543  cvmsrcl  24943  snmlval  25010  fneuni  26347  islocfin  26367  caures  26457  ismtyval  26500  isismty  26501  heiborlem10  26520  eldiophb  26806  linds1  27248  linds2  27249  lindsind  27255  elmnc  27309  issdrg  27473
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-nul 4330  ax-pow 4369
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fv 5454
  Copyright terms: Public domain W3C validator