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Theorem elfz1 10803
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <-> 
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )

Proof of Theorem elfz1
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzval 10800 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M ... N
)  =  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  j  <_  N ) } )
21eleq2d 2363 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <-> 
K  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  j  <_  N ) } ) )
3 breq2 4043 . . . . 5  |-  ( j  =  K  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  K ) )
4 breq1 4042 . . . . 5  |-  ( j  =  K  ->  (
j  <_  N  <->  K  <_  N ) )
53, 4anbi12d 691 . . . 4  |-  ( j  =  K  ->  (
( M  <_  j  /\  j  <_  N )  <-> 
( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
65elrab 2936 . . 3  |-  ( K  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  j  <_  N ) }  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
7 3anass 938 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
86, 7bitr4i 243 . 2  |-  ( K  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  j  <_  N ) }  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
) )
92, 8syl6bb 252 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <-> 
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874    <_ cle 8884   ZZcz 10040   ...cfz 10798
This theorem is referenced by:  elfz  10804  elfz2  10805  fzen  10827  fzaddel  10842  fznn0  10867  elfzm11  10869  fzm1  10878  phicl2  12852  clscnc  26113  fzmul  26546  fzadd2  26547  fz1eqin  26951  jm2.27dlem2  27206
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-neg 9056  df-z 10041  df-fz 10799
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