MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz1eq Unicode version

Theorem elfz1eq 10823
Description: Membership in a finite set of sequential integers containing one integer. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz1eq  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  K  =  N )

Proof of Theorem elfz1eq
StepHypRef Expression
1 elfzle2 10816 . 2  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  K  <_  N )
2 elfzle1 10815 . 2  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  N  <_  K )
3 elfzelz 10814 . . 3  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  K  e.  ZZ )
4 elfzel2 10812 . . 3  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  N  e.  ZZ )
5 zre 10044 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
6 zre 10044 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
7 letri3 8923 . . . 4  |-  ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( K  =  N  <-> 
( K  <_  N  /\  N  <_  K ) ) )
85, 6, 7syl2an 463 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  =  N  <-> 
( K  <_  N  /\  N  <_  K ) ) )
93, 4, 8syl2anc 642 . 2  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  ( K  =  N  <->  ( K  <_  N  /\  N  <_  K ) ) )
101, 2, 9mpbir2and 888 1  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  K  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   RRcr 8752    <_ cle 8884   ZZcz 10040   ...cfz 10798
This theorem is referenced by:  fzsn  10849  fz1sbc  10875  bccl  11350  hashbc  11407  sumsn  12229  climcnds  12326  prmind2  12785  3prm  12791  vdwlem8  13051  od1  14888  gex1  14918  frgpnabllem1  15177  ply1termlem  19601  coefv0  19645  coemulc  19652  logtayl  20023  leibpilem2  20253  chp1  20421  chtub  20467  2sqlem10  20629  dchrisum0flb  20675  ostth2lem2  20799  axlowdimlem16  24657  sdclem2  26555  sumsnd  27800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-neg 9056  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799
  Copyright terms: Public domain W3C validator