MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz1eq Structured version   Unicode version

Theorem elfz1eq 11070
Description: Membership in a finite set of sequential integers containing one integer. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz1eq  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  K  =  N )

Proof of Theorem elfz1eq
StepHypRef Expression
1 elfzle2 11063 . 2  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  K  <_  N )
2 elfzle1 11062 . 2  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  N  <_  K )
3 elfzelz 11061 . . 3  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  K  e.  ZZ )
4 elfzel2 11059 . . 3  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  N  e.  ZZ )
5 zre 10288 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
6 zre 10288 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
7 letri3 9162 . . . 4  |-  ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( K  =  N  <-> 
( K  <_  N  /\  N  <_  K ) ) )
85, 6, 7syl2an 465 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  =  N  <-> 
( K  <_  N  /\  N  <_  K ) ) )
93, 4, 8syl2anc 644 . 2  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  ( K  =  N  <->  ( K  <_  N  /\  N  <_  K ) ) )
101, 2, 9mpbir2and 890 1  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  K  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214  (class class class)co 6083   RRcr 8991    <_ cle 9123   ZZcz 10284   ...cfz 11045
This theorem is referenced by:  fzsn  11096  fz1sbc  11126  bccl  11615  hashbc  11704  sumsn  12536  climcnds  12633  prmind2  13092  3prm  13098  vdwlem8  13358  od1  15197  gex1  15227  frgpnabllem1  15486  ply1termlem  20124  coefv0  20168  coemulc  20175  logtayl  20553  leibpilem2  20783  chp1  20952  chtub  20998  2sqlem10  21160  dchrisum0flb  21206  ostth2lem2  21330  axlowdimlem16  25898  sdclem2  26448  sumsnd  27675  swrdccatin1  28227
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-neg 9296  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046
  Copyright terms: Public domain W3C validator