MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz1eq Unicode version

Theorem elfz1eq 10807
Description: Membership in a finite set of sequential integers containing one integer. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz1eq  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  K  =  N )

Proof of Theorem elfz1eq
StepHypRef Expression
1 elfzle2 10800 . 2  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  K  <_  N )
2 elfzle1 10799 . 2  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  N  <_  K )
3 elfzelz 10798 . . 3  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  K  e.  ZZ )
4 elfzel2 10796 . . 3  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  N  e.  ZZ )
5 zre 10028 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
6 zre 10028 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
7 letri3 8907 . . . 4  |-  ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( K  =  N  <-> 
( K  <_  N  /\  N  <_  K ) ) )
85, 6, 7syl2an 463 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  =  N  <-> 
( K  <_  N  /\  N  <_  K ) ) )
93, 4, 8syl2anc 642 . 2  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  ( K  =  N  <->  ( K  <_  N  /\  N  <_  K ) ) )
101, 2, 9mpbir2and 888 1  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  K  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736    <_ cle 8868   ZZcz 10024   ...cfz 10782
This theorem is referenced by:  fzsn  10833  fz1sbc  10859  bccl  11334  hashbc  11391  sumsn  12213  climcnds  12310  prmind2  12769  3prm  12775  vdwlem8  13035  od1  14872  gex1  14902  frgpnabllem1  15161  ply1termlem  19585  coefv0  19629  coemulc  19636  logtayl  20007  leibpilem2  20237  chp1  20405  chtub  20451  2sqlem10  20613  dchrisum0flb  20659  ostth2lem2  20783  axlowdimlem16  24585  sdclem2  26452  sumsnd  27697
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-neg 9040  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783
  Copyright terms: Public domain W3C validator