Theorem elfz2t 6472

Description: Membership in a finite set of sequential integers. We use the fact that an operation's value is empty outside of its domain to show M e. ZZ and N e. ZZ.

Assertion

Ref	Expression
elfz2t	|- (N e. A -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))

Proof of Theorem elfz2t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1t 6470	. . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (K e. (M...N) <-> (K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N)))
2		ibar 643	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ((K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
3		3anass 779	. . . . . 6 |- ((K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N) <-> (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))
4	2, 3	syl5bb 532	. . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ((K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
5	1, 4	bitrd 528	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
6	5	adantl 388	. . 3 |- ((N e. A /\ (M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
7		zex 6144	. . . . . . . 8 |- ZZ e. V
8	7	rabex 2725	. . . . . . 7 |- {k e. ZZ | (m <_ k /\ k <_ n)} e. V
9		df-fz 6468	. . . . . . 7 |- ... = {<.<.m, n>., z>. | ((m e. ZZ /\ n e. ZZ) /\ z = {k e. ZZ | (m <_ k /\ k <_ n)})}
10	8, 9	dmoprab2 4123	. . . . . 6 |- dom ... = (ZZ X. ZZ)
11		ndmoprg 4043	. . . . . 6 |- ((dom ... = (ZZ X. ZZ) /\ N e. A /\ -. (M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (M...N) = (/))
12	10, 11	mp3an1 903	. . . . 5 |- ((N e. A /\ -. (M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (M...N) = (/))
13	12	eleq2d 1541	. . . 4 |- ((N e. A /\ -. (M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (K e. (M...N) <-> K e. (/)))
14		noel 2284	. . . . . . 7 |- -. K e. (/)
15	14	pm2.21i 77	. . . . . 6 |- (K e. (/) -> (M e. ZZ /\ N e. ZZ))
16		pm3.26 319	. . . . . 6 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N))) -> (M e. ZZ /\ N e. ZZ))
17	15, 16	pm5.21ni 678	. . . . 5 |- (-. (M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (K e. (/) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
18	17	adantl 388	. . . 4 |- ((N e. A /\ -. (M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (K e. (/) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
19	13, 18	bitrd 528	. . 3 |- ((N e. A /\ -. (M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
20	6, 19	pm2.61dan 477	. 2 |- (N e. A -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
21		df-3an 777	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K e. ZZ))
22	21	anbi1i 481	. . 3 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) <-> (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)))
23		anass 439	. . 3 |- ((((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N))))
24	22, 23	bitr2 174	. 2 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N))) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)))
25	20, 24	syl6bb 536	1 |- (N e. A -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  {crab 1648  (/)c0 2280   class class class wbr 2619   X. cxp 3168  dom cdm 3170  (class class class)co 3963   <_ cle 5295  ZZcz 5298  ...cfz 6467

This theorem is referenced by:  elfzlem 6473  elfzuzb 6476  elfzel2 6479  elfzel2g 6480  elfz2nn0t 6495  fznn0subt 6498  elfzp1 6510

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-enr 5166  df-nr 5167  df-0r 5171  df-c 5240  df-r 5244  df-neg 5358  df-z 6136  df-fz 6468

Copyright terms: Public domain