MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz5 Unicode version

Theorem elfz5 10790
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz5  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  K  <_  N ) )

Proof of Theorem elfz5
StepHypRef Expression
1 eluzelz 10238 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ZZ )
2 eluzel2 10235 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
31, 2jca 518 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
4 elfz 10788 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
543expa 1151 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N
) ) )
63, 5sylan 457 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
7 eluzle 10240 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  K )
87biantrurd 494 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  <_  N  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N
) ) )
98adantr 451 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  N  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
106, 9bitr4d 247 1  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  K  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    <_ cle 8868   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782
This theorem is referenced by:  fzsplit2  10815  fznn0sub2  10825  bcval5  11330  hashf1  11395  seqcoll  11401  limsupgre  11955  isercolllem2  12139  isercoll  12141  fsumcvg3  12202  fsum0diaglem  12239  climcndslem2  12309  mertenslem1  12340  pcfac  12947  prmreclem2  12964  prmreclem3  12965  prmreclem5  12967  1arith  12974  vdwlem1  13028  vdwlem3  13030  vdwlem10  13037  sylow1lem1  14909  psrbaglefi  16118  ovoliunlem1  18861  ovolicc2lem4  18879  uniioombllem3  18940  mbfi1fseqlem3  19072  iblcnlem1  19142  plyeq0lem  19592  coeeulem  19606  coeidlem  19619  coeid3  19622  coeeq2  19624  coemulhi  19635  vieta1lem2  19691  birthdaylem2  20247  birthdaylem3  20248  ftalem5  20314  basellem2  20319  basellem3  20320  basellem5  20322  musum  20431  fsumvma2  20453  chpchtsum  20458  lgsne0  20572  lgsquadlem2  20594  rplogsumlem2  20634  dchrisumlem1  20638  dchrisum0lem1  20665  ostth2lem3  20784  fzsplit3  23031  erdszelem7  23728  cvmliftlem7  23822  eupath2lem3  23903  eupath2  23904  konigsberg  23911  predfz  24203
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-neg 9040  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783
  Copyright terms: Public domain W3C validator