MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz5 Structured version   Unicode version

Theorem elfz5 11043
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz5  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  K  <_  N ) )

Proof of Theorem elfz5
StepHypRef Expression
1 eluzelz 10488 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ZZ )
2 eluzel2 10485 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
31, 2jca 519 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
4 elfz 11041 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
543expa 1153 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N
) ) )
63, 5sylan 458 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
7 eluzle 10490 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  K )
87biantrurd 495 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  <_  N  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N
) ) )
98adantr 452 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  N  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
106, 9bitr4d 248 1  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  K  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    <_ cle 9113   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   ...cfz 11035
This theorem is referenced by:  fzsplit2  11068  fznn0sub2  11078  bcval5  11601  hashf1  11698  seqcoll  11704  limsupgre  12267  isercolllem2  12451  isercoll  12453  fsumcvg3  12515  fsum0diaglem  12552  climcndslem2  12622  mertenslem1  12653  pcfac  13260  prmreclem2  13277  prmreclem3  13278  prmreclem5  13280  1arith  13287  vdwlem1  13341  vdwlem3  13343  vdwlem10  13350  sylow1lem1  15224  psrbaglefi  16429  ovoliunlem1  19390  ovolicc2lem4  19408  uniioombllem3  19469  mbfi1fseqlem3  19601  iblcnlem1  19671  plyeq0lem  20121  coeeulem  20135  coeidlem  20148  coeid3  20151  coeeq2  20153  coemulhi  20164  vieta1lem2  20220  birthdaylem2  20783  birthdaylem3  20784  ftalem5  20851  basellem2  20856  basellem3  20857  basellem5  20859  musum  20968  fsumvma2  20990  chpchtsum  20995  lgsne0  21109  lgsquadlem2  21131  rplogsumlem2  21171  dchrisumlem1  21175  dchrisum0lem1  21202  ostth2lem3  21321  constr3pthlem3  21636  eupath2lem3  21693  eupath2  21694  konigsberg  21701  fzsplit3  24142  erdszelem7  24875  cvmliftlem7  24970  predfz  25470
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-neg 9286  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036
  Copyright terms: Public domain W3C validator