MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz5 Unicode version

Theorem elfz5 10806
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz5  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  K  <_  N ) )

Proof of Theorem elfz5
StepHypRef Expression
1 eluzelz 10254 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ZZ )
2 eluzel2 10251 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
31, 2jca 518 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
4 elfz 10804 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
543expa 1151 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N
) ) )
63, 5sylan 457 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
7 eluzle 10256 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  K )
87biantrurd 494 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  <_  N  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N
) ) )
98adantr 451 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  N  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
106, 9bitr4d 247 1  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  K  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    <_ cle 8884   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798
This theorem is referenced by:  fzsplit2  10831  fznn0sub2  10841  bcval5  11346  hashf1  11411  seqcoll  11417  limsupgre  11971  isercolllem2  12155  isercoll  12157  fsumcvg3  12218  fsum0diaglem  12255  climcndslem2  12325  mertenslem1  12356  pcfac  12963  prmreclem2  12980  prmreclem3  12981  prmreclem5  12983  1arith  12990  vdwlem1  13044  vdwlem3  13046  vdwlem10  13053  sylow1lem1  14925  psrbaglefi  16134  ovoliunlem1  18877  ovolicc2lem4  18895  uniioombllem3  18956  mbfi1fseqlem3  19088  iblcnlem1  19158  plyeq0lem  19608  coeeulem  19622  coeidlem  19635  coeid3  19638  coeeq2  19640  coemulhi  19651  vieta1lem2  19707  birthdaylem2  20263  birthdaylem3  20264  ftalem5  20330  basellem2  20335  basellem3  20336  basellem5  20338  musum  20447  fsumvma2  20469  chpchtsum  20474  lgsne0  20588  lgsquadlem2  20610  rplogsumlem2  20650  dchrisumlem1  20654  dchrisum0lem1  20681  ostth2lem3  20800  fzsplit3  23047  erdszelem7  23743  cvmliftlem7  23837  eupath2lem3  23918  eupath2  23919  konigsberg  23926  predfz  24274  constr3pthlem3  28403
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-neg 9056  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799
  Copyright terms: Public domain W3C validator