MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzel2 Structured version   Unicode version

Theorem elfzel2 11049
Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzel2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )

Proof of Theorem elfzel2
StepHypRef Expression
1 elfzuz3 11048 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
2 eluzelz 10488 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  N  e.  ZZ )
31, 2syl 16 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   ...cfz 11035
This theorem is referenced by:  elfz1eq  11060  fzdisj  11070  fznn0sub2  11078  fzssp1  11087  fzp1disj  11097  fzrev2i  11102  fzrev3  11103  fznuz  11121  fzofzp1b  11182  bcm1k  11598  bcp1nk  11600  spllen  11775  fsum0diag2  12558  pntpbnd1  21272  fallfacval3  25320  fallfacval4  25351  psgnunilem2  27386  stoweidlem34  27750  2elfz2melfz  28101  swrd0swrd  28163  swrdccatin2lem1  28172  swrdccatin12lem3  28178  2cshw2lem1  28218  cshweqdif2  28233  cshwssizelem2  28244
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-neg 9286  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036
  Copyright terms: Public domain W3C validator