MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzelz Unicode version

Theorem elfzelz 10814
Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzelz  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )

Proof of Theorem elfzelz
StepHypRef Expression
1 elfzuz 10810 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 eluzelz 10254 . 2  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ZZ )
31, 2syl 15 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798
This theorem is referenced by:  elfz1eq  10823  fzsplit2  10831  fzdisj  10833  elfznn  10835  fznn0sub2  10841  fzrev2i  10864  fzrev3i  10866  fznuz  10880  fzrevral  10882  fzshftral  10885  fzosplit  10915  sermono  11094  seqf1olem1  11101  seqf1olem2  11102  bcval2  11334  bcval4  11336  bccmpl  11338  bcm1k  11343  bcp1nk  11345  bcval5  11346  bcpasc  11349  bccl2  11351  seqcoll  11417  seqcoll2  11418  swrdval2  11469  swrd0val  11470  ccatswrd  11475  spllen  11485  splfv1  11486  seqshft  11596  sumrblem  12200  summolem2a  12204  fsum0diaglem  12255  fsumrev  12257  fsumshft  12258  fsumshftm  12259  fsum0diag2  12261  binomlem  12303  binom11  12306  bcxmas  12310  arisum  12334  geo2sum  12345  mertenslem1  12356  fzm1ndvds  12596  hashdvds  12859  phiprmpw  12860  prmdiveq  12870  prmdivdiv  12871  4sqlem11  13018  4sqlem12  13019  vdwapun  13037  dfod2  14893  efgredleme  15068  efgredlemc  15070  efgredlemb  15071  iscmet3  18735  mbfi1fseqlem4  19089  itgz  19151  itgcl  19154  ibl0  19157  iblss  19175  iblss2  19176  itgss  19182  itgeqa  19184  iblconst  19188  iblabsr  19200  iblmulc2  19201  itgsplit  19206  dvfsumlem3  19391  plyeq0lem  19608  aalioulem1  19728  cxpeq  20113  birthdaylem2  20263  wilthlem1  20322  wilthlem2  20323  wilthlem3  20324  ftalem5  20330  basellem3  20336  basellem4  20337  dvdsppwf1o  20442  dvdsflf1o  20443  musum  20447  ppiub  20459  chtublem  20466  mersenne  20482  bposlem1  20539  lgsval2lem  20561  lgsdilem2  20586  lgsqrlem2  20597  lgsqrlem4  20599  lgseisenlem1  20604  lgseisenlem2  20605  lgseisenlem3  20606  lgsquadlem1  20609  lgsquadlem2  20610  lgsquadlem3  20611  rpvmasumlem  20652  dchrisumlem1  20654  dchrisumlem2  20655  dchrmusum2  20659  dchrvmasumlem1  20660  dchrvmasum2lem  20661  dchrvmasum2if  20662  dchrvmasumlem3  20664  dchrvmasumiflem1  20666  dchrvmasumiflem2  20667  dchrisum0flblem1  20673  rpvmasum2  20677  dchrisum0lem1b  20680  dchrisum0lem1  20681  dchrisum0lem2a  20682  dchrisum0lem2  20683  dchrisum0lem3  20684  dchrmusumlem  20687  dchrvmasumlem  20688  logdivbnd  20721  pntpbnd1  20751  pntlemh  20764  pntlemj  20768  pntlemf  20770  ostth2lem2  20799  fzsplit3  23047  bcm1n  23048  ballotlemfc0  23067  ballotlemfcc  23068  ballotlemodife  23072  ballotlemimin  23080  ballotlemsgt1  23085  ballotlemsel1i  23087  ballotlemsf1o  23088  ballotlemsi  23089  ballotlemsima  23090  ballotlemfg  23100  ballotlemfrc  23101  ballotlemfrci  23102  ballotlemfrceq  23103  ballotlemfrcn0  23104  ballotlemirc  23106  ballotlem1ri  23109  erdszelem8  23744  erdszelem9  23745  cvmliftlem7  23837  fznatpl1  24108  supfz  24109  inffz  24110  prodrblem  24152  prodmolem2a  24157  predfz  24274  axlowdimlem13  24654  axlowdimlem14  24655  axlowdimlem16  24657  bpolycl  24859  bpolysum  24860  bpolydiflem  24861  fsumkthpow  24863  bpoly4  24866  iblmulc2nc  25016  clscnc  26113  fdc  26558  irrapxlem1  27010  irrapxlem2  27011  irrapxlem3  27012  pellexlem5  27021  acongrep  27170  fzmaxdif  27171  acongeq  27173  jm2.22  27191  jm2.23  27192  jm2.26lem3  27197  jm2.26  27198  jm2.27dlem2  27206  fmul01lt1lem1  27817  fmul01lt1lem2  27818  stoweidlem3  27855  stoweidlem11  27863  stoweidlem20  27872  stoweidlem26  27878  stoweidlem34  27886  stoweidlem59  27911  stirlinglem10  27935  fargshiftfo  28383
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-neg 9056  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799
  Copyright terms: Public domain W3C validator