MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzelz Unicode version

Theorem elfzelz 10798
Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzelz  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )

Proof of Theorem elfzelz
StepHypRef Expression
1 elfzuz 10794 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 eluzelz 10238 . 2  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ZZ )
31, 2syl 15 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782
This theorem is referenced by:  elfz1eq  10807  fzsplit2  10815  fzdisj  10817  elfznn  10819  fznn0sub2  10825  fzrev2i  10848  fzrev3i  10850  fznuz  10864  fzrevral  10866  fzshftral  10869  fzosplit  10899  sermono  11078  seqf1olem1  11085  seqf1olem2  11086  bcval2  11318  bcval4  11320  bccmpl  11322  bcm1k  11327  bcp1nk  11329  bcval5  11330  bcpasc  11333  bccl2  11335  seqcoll  11401  seqcoll2  11402  swrdval2  11453  swrd0val  11454  ccatswrd  11459  spllen  11469  splfv1  11470  seqshft  11580  sumrblem  12184  summolem2a  12188  fsum0diaglem  12239  fsumrev  12241  fsumshft  12242  fsumshftm  12243  fsum0diag2  12245  binomlem  12287  binom11  12290  bcxmas  12294  arisum  12318  geo2sum  12329  mertenslem1  12340  fzm1ndvds  12580  hashdvds  12843  phiprmpw  12844  prmdiveq  12854  prmdivdiv  12855  4sqlem11  13002  4sqlem12  13003  vdwapun  13021  dfod2  14877  efgredleme  15052  efgredlemc  15054  efgredlemb  15055  iscmet3  18719  mbfi1fseqlem4  19073  itgz  19135  itgcl  19138  ibl0  19141  iblss  19159  iblss2  19160  itgss  19166  itgeqa  19168  iblconst  19172  iblabsr  19184  iblmulc2  19185  itgsplit  19190  dvfsumlem3  19375  plyeq0lem  19592  aalioulem1  19712  cxpeq  20097  birthdaylem2  20247  wilthlem1  20306  wilthlem2  20307  wilthlem3  20308  ftalem5  20314  basellem3  20320  basellem4  20321  dvdsppwf1o  20426  dvdsflf1o  20427  musum  20431  ppiub  20443  chtublem  20450  mersenne  20466  bposlem1  20523  lgsval2lem  20545  lgsdilem2  20570  lgsqrlem2  20581  lgsqrlem4  20583  lgseisenlem1  20588  lgseisenlem2  20589  lgseisenlem3  20590  lgsquadlem1  20593  lgsquadlem2  20594  lgsquadlem3  20595  rpvmasumlem  20636  dchrisumlem1  20638  dchrisumlem2  20639  dchrmusum2  20643  dchrvmasumlem1  20644  dchrvmasum2lem  20645  dchrvmasum2if  20646  dchrvmasumlem3  20648  dchrvmasumiflem1  20650  dchrvmasumiflem2  20651  dchrisum0flblem1  20657  rpvmasum2  20661  dchrisum0lem1b  20664  dchrisum0lem1  20665  dchrisum0lem2a  20666  dchrisum0lem2  20667  dchrisum0lem3  20668  dchrmusumlem  20671  dchrvmasumlem  20672  logdivbnd  20705  pntpbnd1  20735  pntlemh  20748  pntlemj  20752  pntlemf  20754  ostth2lem2  20783  fzsplit3  23031  bcm1n  23032  ballotlemfc0  23051  ballotlemfcc  23052  ballotlemodife  23056  ballotlemimin  23064  ballotlemsgt1  23069  ballotlemsel1i  23071  ballotlemsf1o  23072  ballotlemsi  23073  ballotlemsima  23074  ballotlemfg  23084  ballotlemfrc  23085  ballotlemfrci  23086  ballotlemfrceq  23087  ballotlemfrcn0  23088  ballotlemirc  23090  ballotlem1ri  23093  erdszelem8  23729  erdszelem9  23730  cvmliftlem7  23822  fznatpl1  24093  supfz  24094  inffz  24095  predfz  24203  axlowdimlem13  24582  axlowdimlem14  24583  axlowdimlem16  24585  bpolycl  24787  bpolysum  24788  bpolydiflem  24789  fsumkthpow  24791  bpoly4  24794  clscnc  26010  fdc  26455  irrapxlem1  26907  irrapxlem2  26908  irrapxlem3  26909  pellexlem5  26918  acongrep  27067  fzmaxdif  27068  acongeq  27070  jm2.22  27088  jm2.23  27089  jm2.26lem3  27094  jm2.26  27095  jm2.27dlem2  27103  fmul01lt1lem1  27714  fmul01lt1lem2  27715  stoweidlem3  27752  stoweidlem11  27760  stoweidlem20  27769  stoweidlem26  27775  stoweidlem34  27783  stoweidlem59  27808  stirlinglem10  27832
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-neg 9040  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783
  Copyright terms: Public domain W3C validator