MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzelz Structured version   Unicode version

Theorem elfzelz 11064
Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzelz  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )

Proof of Theorem elfzelz
StepHypRef Expression
1 elfzuz 11060 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 eluzelz 10501 . 2  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ZZ )
31, 2syl 16 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048
This theorem is referenced by:  elfz1eq  11073  fzsplit2  11081  fzdisj  11083  elfznn  11085  fznn0sub2  11091  fzrev2i  11115  fzrev3i  11117  fznuz  11134  fzrevral  11136  fzshftral  11139  fzosplit  11171  sermono  11360  seqf1olem1  11367  seqf1olem2  11368  bcval2  11601  bcval4  11603  bccmpl  11605  bcm1k  11611  bcp1nk  11613  bcval5  11614  bcpasc  11617  bccl2  11619  seqcoll  11717  seqcoll2  11718  swrdval2  11772  swrd0val  11773  ccatswrd  11778  spllen  11788  splfv1  11789  seqshft  11905  sumrblem  12510  summolem2a  12514  fsum0diaglem  12565  fsumrev  12567  fsumshft  12568  fsumshftm  12569  fsum0diag2  12571  binomlem  12613  binom11  12616  bcxmas  12620  arisum  12644  geo2sum  12655  mertenslem1  12666  fzm1ndvds  12906  hashdvds  13169  phiprmpw  13170  prmdiveq  13180  prmdivdiv  13181  4sqlem11  13328  4sqlem12  13329  vdwapun  13347  dfod2  15205  efgredleme  15380  efgredlemc  15382  efgredlemb  15383  iscmet3  19251  mbfi1fseqlem4  19613  itgz  19675  itgcl  19678  ibl0  19681  iblss  19699  iblss2  19700  itgss  19706  itgeqa  19708  iblconst  19712  iblabsr  19724  iblmulc2  19725  itgsplit  19730  dvfsumlem3  19917  plyeq0lem  20134  aalioulem1  20254  cxpeq  20646  birthdaylem2  20796  wilthlem1  20856  wilthlem2  20857  wilthlem3  20858  ftalem5  20864  basellem3  20870  basellem4  20871  dvdsppwf1o  20976  dvdsflf1o  20977  musum  20981  ppiub  20993  chtublem  21000  mersenne  21016  bposlem1  21073  lgsval2lem  21095  lgsdilem2  21120  lgsqrlem2  21131  lgsqrlem4  21133  lgseisenlem1  21138  lgseisenlem2  21139  lgseisenlem3  21140  lgsquadlem1  21143  lgsquadlem2  21144  lgsquadlem3  21145  rpvmasumlem  21186  dchrisumlem1  21188  dchrisumlem2  21189  dchrmusum2  21193  dchrvmasumlem1  21194  dchrvmasum2lem  21195  dchrvmasum2if  21196  dchrvmasumlem3  21198  dchrvmasumiflem1  21200  dchrvmasumiflem2  21201  dchrisum0flblem1  21207  rpvmasum2  21211  dchrisum0lem1b  21214  dchrisum0lem1  21215  dchrisum0lem2a  21216  dchrisum0lem2  21217  dchrisum0lem3  21218  dchrmusumlem  21221  dchrvmasumlem  21222  logdivbnd  21255  pntpbnd1  21285  pntlemh  21298  pntlemj  21302  pntlemf  21304  ostth2lem2  21333  fargshiftfo  21630  fzsplit3  24155  bcm1n  24156  ballotlemfc0  24755  ballotlemfcc  24756  ballotlemodife  24760  ballotlemimin  24768  ballotlemsgt1  24773  ballotlemsel1i  24775  ballotlemsf1o  24776  ballotlemsi  24777  ballotlemsima  24778  ballotlemfg  24788  ballotlemfrc  24789  ballotlemfrceq  24791  ballotlemfrcn0  24792  ballotlemirc  24794  ballotlem1ri  24797  erdszelem8  24889  erdszelem9  24890  cvmliftlem7  24983  fznatpl1  25203  supfz  25204  inffz  25205  prodfn0  25227  prodrblem  25260  prodmolem2a  25265  fprodntriv  25273  fprodser  25280  fprod1p  25296  fprodshft  25305  fprodrev  25306  fallfacval3  25333  fallfacfwd  25357  0fallfac  25358  binomfallfaclem1  25360  binomfallfaclem2  25361  binomrisefac  25363  fallfacval4  25364  predfz  25483  axlowdimlem13  25898  axlowdimlem14  25899  axlowdimlem16  25901  bpolycl  26103  bpolysum  26104  bpolydiflem  26105  fsumkthpow  26107  bpoly4  26110  mblfinlem2  26256  iblmulc2nc  26284  fdc  26463  irrapxlem1  26899  irrapxlem2  26900  irrapxlem3  26901  pellexlem5  26910  acongrep  27059  fzmaxdif  27060  acongeq  27062  jm2.22  27080  jm2.23  27081  jm2.26lem3  27086  jm2.26  27087  jm2.27dlem2  27095  fmul01lt1lem1  27704  fmul01lt1lem2  27705  stoweidlem3  27742  stoweidlem11  27750  stoweidlem20  27759  stoweidlem26  27765  stoweidlem34  27773  stoweidlem59  27798  stirlinglem10  27822  2elfz2melfz  28140  addlenrevswrd  28219  swrd0fv  28226  swrd0swrd  28231  swrdswrd  28233  swrd0swrdid  28234  swrdswrd0  28235  swrdccatin2lem1  28240  swrdccatin12lem3a  28242  swrdccatin12lem3b  28243  swrdccatin2  28244  swrdccatin12  28248  modprminv  28259  modprminveq  28260  modprm0  28262  2cshw1lem1  28282  2cshw1lem2  28283  2cshw2lem1  28286  2cshwmod  28291  cshweqdif2  28304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-neg 9299  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049
  Copyright terms: Public domain W3C validator