MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzle1 Unicode version

Theorem elfzle1 10815
Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzle1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )

Proof of Theorem elfzle1
StepHypRef Expression
1 elfzuz 10810 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 eluzle 10256 . 2  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  K )
31, 2syl 15 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    <_ cle 8884   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798
This theorem is referenced by:  elfz1eq  10823  fzdisj  10833  elfznn  10835  fznn0sub2  10841  seqf1olem1  11101  seqf1olem2  11102  bcval4  11336  seqcoll  11417  seqcoll2  11418  fsum0diaglem  12255  mertenslem1  12356  divalglem6  12613  hashdvds  12859  prmdiveq  12870  4sqlem11  13018  4sqlem12  13019  dvfsumlem3  19391  birthdaylem3  20264  ppiltx  20431  ppiub  20459  lgsdilem2  20586  lgsquadlem1  20609  chtppilimlem1  20638  dchrvmasumiflem1  20666  pntrlog2bndlem5  20746  pntpbnd1  20751  pntpbnd2  20752  pntlemh  20764  pntlemj  20768  ostth2lem2  20799  bcm1n  23048  ballotlem2  23063  ballotlemsdom  23086  ballotlemsima  23090  ballotlemfrci  23102  ballotlemfrcn0  23104  ballotlem1ri  23109  subfacp1lem1  23725  subfacp1lem5  23730  fznatpl1  24108  inffz  24110  axlowdimlem16  24657  fdc  26558  irrapxlem3  27012  acongrep  27170  fzmaxdif  27171  acongeq  27173  jm2.23  27192  jm2.26lem3  27197  jm2.27dlem2  27206  fmul01lt1lem1  27817  fmul01lt1lem2  27818  stoweidlem3  27855  stoweidlem11  27863  stoweidlem20  27872  stoweidlem26  27878  stoweidlem34  27886  wallispi2  27925
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-neg 9056  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799
  Copyright terms: Public domain W3C validator