MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzle1 Structured version   Unicode version

Theorem elfzle1 11065
Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzle1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )

Proof of Theorem elfzle1
StepHypRef Expression
1 elfzuz 11060 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 eluzle 10503 . 2  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  K )
31, 2syl 16 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    <_ cle 9126   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048
This theorem is referenced by:  elfz1eq  11073  fzdisj  11083  elfznn  11085  fznn0sub2  11091  seqf1olem1  11367  seqf1olem2  11368  bcval4  11603  seqcoll  11717  seqcoll2  11718  fsum0diaglem  12565  mertenslem1  12666  divalglem6  12923  hashdvds  13169  prmdiveq  13180  4sqlem11  13328  4sqlem12  13329  dvfsumlem3  19917  birthdaylem3  20797  ppiltx  20965  ppiub  20993  lgsdilem2  21120  lgsquadlem1  21143  chtppilimlem1  21172  dchrvmasumiflem1  21200  pntrlog2bndlem5  21280  pntpbnd1  21285  pntpbnd2  21286  pntlemh  21298  pntlemj  21302  ostth2lem2  21333  ballotlem2  24751  ballotlemsdom  24774  ballotlemsima  24778  ballotlemfrcn0  24792  ballotlem1ri  24797  subfacp1lem1  24870  subfacp1lem5  24875  fznatpl1  25203  inffz  25205  fprodntriv  25273  fallfacval4  25364  axlowdimlem16  25901  mblfinlem2  26256  fdc  26463  irrapxlem3  26901  acongrep  27059  fzmaxdif  27060  acongeq  27062  jm2.23  27081  jm2.26lem3  27086  jm2.27dlem2  27095  fmul01lt1lem1  27704  fmul01lt1lem2  27705  stoweidlem3  27742  stoweidlem11  27750  stoweidlem20  27759  stoweidlem26  27765  stoweidlem34  27773  wallispi2  27812  fz0fzdiffz0  28142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-neg 9299  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049
  Copyright terms: Public domain W3C validator