MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzle1 Structured version   Unicode version

Theorem elfzle1 11050
Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzle1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )

Proof of Theorem elfzle1
StepHypRef Expression
1 elfzuz 11045 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 eluzle 10488 . 2  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  K )
31, 2syl 16 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    <_ cle 9111   ZZ>=cuz 10478   ...cfz 11033
This theorem is referenced by:  elfz1eq  11058  fzdisj  11068  elfznn  11070  fznn0sub2  11076  seqf1olem1  11352  seqf1olem2  11353  bcval4  11588  seqcoll  11702  seqcoll2  11703  fsum0diaglem  12550  mertenslem1  12651  divalglem6  12908  hashdvds  13154  prmdiveq  13165  4sqlem11  13313  4sqlem12  13314  dvfsumlem3  19902  birthdaylem3  20782  ppiltx  20950  ppiub  20978  lgsdilem2  21105  lgsquadlem1  21128  chtppilimlem1  21157  dchrvmasumiflem1  21185  pntrlog2bndlem5  21265  pntpbnd1  21270  pntpbnd2  21271  pntlemh  21283  pntlemj  21287  ostth2lem2  21318  ballotlem2  24736  ballotlemsdom  24759  ballotlemsima  24763  ballotlemfrcn0  24777  ballotlem1ri  24782  subfacp1lem1  24855  subfacp1lem5  24860  fznatpl1  25188  inffz  25190  fprodntriv  25258  fallfacval4  25349  axlowdimlem16  25861  mblfinlem  26207  fdc  26403  irrapxlem3  26841  acongrep  26999  fzmaxdif  27000  acongeq  27002  jm2.23  27021  jm2.26lem3  27026  jm2.27dlem2  27035  fmul01lt1lem1  27645  fmul01lt1lem2  27646  stoweidlem3  27683  stoweidlem11  27691  stoweidlem20  27700  stoweidlem26  27706  stoweidlem34  27714  wallispi2  27753  fz0fzdiffz0  28067
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-neg 9284  df-z 10273  df-uz 10479  df-fz 11034
  Copyright terms: Public domain W3C validator