MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzle1 Unicode version

Theorem elfzle1 10993
Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzle1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )

Proof of Theorem elfzle1
StepHypRef Expression
1 elfzuz 10988 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 eluzle 10431 . 2  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  K )
31, 2syl 16 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717   class class class wbr 4154   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    <_ cle 9055   ZZ>=cuz 10421   ...cfz 10976
This theorem is referenced by:  elfz1eq  11001  fzdisj  11011  elfznn  11013  fznn0sub2  11019  seqf1olem1  11290  seqf1olem2  11291  bcval4  11526  seqcoll  11640  seqcoll2  11641  fsum0diaglem  12488  mertenslem1  12589  divalglem6  12846  hashdvds  13092  prmdiveq  13103  4sqlem11  13251  4sqlem12  13252  dvfsumlem3  19780  birthdaylem3  20660  ppiltx  20828  ppiub  20856  lgsdilem2  20983  lgsquadlem1  21006  chtppilimlem1  21035  dchrvmasumiflem1  21063  pntrlog2bndlem5  21143  pntpbnd1  21148  pntpbnd2  21149  pntlemh  21161  pntlemj  21165  ostth2lem2  21196  ballotlem2  24526  ballotlemsdom  24549  ballotlemsima  24553  ballotlemfrcn0  24567  ballotlem1ri  24572  subfacp1lem1  24645  subfacp1lem5  24650  fznatpl1  24978  inffz  24980  fprodntriv  25048  axlowdimlem16  25611  fdc  26141  irrapxlem3  26579  acongrep  26737  fzmaxdif  26738  acongeq  26740  jm2.23  26759  jm2.26lem3  26764  jm2.27dlem2  26773  fmul01lt1lem1  27383  fmul01lt1lem2  27384  stoweidlem3  27421  stoweidlem11  27429  stoweidlem20  27438  stoweidlem26  27444  stoweidlem34  27452  wallispi2  27491
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-neg 9227  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977
  Copyright terms: Public domain W3C validator