MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzle1 Unicode version

Theorem elfzle1 10799
Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzle1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )

Proof of Theorem elfzle1
StepHypRef Expression
1 elfzuz 10794 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 eluzle 10240 . 2  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  K )
31, 2syl 15 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    <_ cle 8868   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782
This theorem is referenced by:  elfz1eq  10807  fzdisj  10817  elfznn  10819  fznn0sub2  10825  seqf1olem1  11085  seqf1olem2  11086  bcval4  11320  seqcoll  11401  seqcoll2  11402  fsum0diaglem  12239  mertenslem1  12340  divalglem6  12597  hashdvds  12843  prmdiveq  12854  4sqlem11  13002  4sqlem12  13003  dvfsumlem3  19375  birthdaylem3  20248  ppiltx  20415  ppiub  20443  lgsdilem2  20570  lgsquadlem1  20593  chtppilimlem1  20622  dchrvmasumiflem1  20650  pntrlog2bndlem5  20730  pntpbnd1  20735  pntpbnd2  20736  pntlemh  20748  pntlemj  20752  ostth2lem2  20783  bcm1n  23032  ballotlem2  23047  ballotlemsdom  23070  ballotlemsima  23074  ballotlemfrci  23086  ballotlemfrcn0  23088  ballotlem1ri  23093  subfacp1lem1  23710  subfacp1lem5  23715  fznatpl1  24093  inffz  24095  axlowdimlem16  24585  fdc  26455  irrapxlem3  26909  acongrep  27067  fzmaxdif  27068  acongeq  27070  jm2.23  27089  jm2.26lem3  27094  jm2.27dlem2  27103  fmul01lt1lem1  27714  fmul01lt1lem2  27715  stoweidlem3  27752  stoweidlem11  27760  stoweidlem20  27769  stoweidlem26  27775  stoweidlem34  27783  wallispi2  27822
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-neg 9040  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783
  Copyright terms: Public domain W3C validator