MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznn Structured version   Unicode version

Theorem elfznn 11080
Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a natural number. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfznn  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )

Proof of Theorem elfznn
StepHypRef Expression
1 elfzelz 11059 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
2 elfzle1 11060 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  1  <_  K )
3 elnnz1 10307 . 2  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  <_  K ) )
41, 2, 3sylanbrc 646 1  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   1c1 8991    <_ cle 9121   NNcn 10000   ZZcz 10282   ...cfz 11043
This theorem is referenced by:  elfz1end  11081  fzossnn  11172  bcm1k  11606  bcpasc  11612  seqcoll  11712  isercolllem2  12459  isercolllem3  12460  isercoll  12461  sumeq2ii  12487  summolem3  12508  summolem2a  12509  fsum  12514  sumz  12516  fsumconst  12573  o1fsum  12592  binomlem  12608  incexc2  12618  climcndslem1  12629  climcndslem2  12630  climcnds  12631  harmonic  12638  arisum2  12640  trireciplem  12641  geo2sum  12650  geo2lim  12652  rpnnen2lem10  12823  fzm1ndvds  12901  phicl  13158  prmdivdiv  13176  pcfac  13268  pcbc  13269  prmreclem2  13285  prmreclem3  13286  prmreclem4  13287  prmreclem5  13288  prmreclem6  13289  prmrec  13290  4sqlem13  13325  vdwlem2  13350  vdwlem3  13351  vdwlem10  13358  vdwlem12  13360  mulgnnsubcl  14902  mulgnn0z  14910  mulgnndir  14912  oddvdsnn0  15182  odnncl  15183  gexcl3  15221  efgsres  15370  mulgnn0di  15448  gsumconst  15532  1stcfb  17508  1stckgenlem  17585  lebnumii  18991  ovollb2lem  19384  ovolunlem1a  19392  ovoliunlem1  19398  ovoliunlem2  19399  ovoliun2  19402  ovolscalem1  19409  ovolicc2lem4  19416  voliunlem1  19444  volsup  19450  ioombl1lem4  19455  uniioovol  19471  uniioombllem3a  19476  uniioombllem3  19477  uniioombllem4  19478  uniioombllem5  19479  uniioombllem6  19480  dvply1  20201  aaliou3lem5  20264  aaliou3lem6  20265  dvtaylp  20286  taylthlem2  20290  pserdvlem2  20344  logfac  20495  atantayl  20777  birthdaylem2  20791  emcllem1  20834  emcllem2  20835  emcllem3  20836  emcllem5  20838  emcllem7  20840  harmoniclbnd  20847  harmonicubnd  20848  harmonicbnd4  20849  fsumharmonic  20850  wilthlem1  20851  wilthlem2  20852  ftalem5  20859  basellem1  20863  basellem8  20870  chpf  20906  efchpcl  20908  chpp1  20938  chpwordi  20940  prmorcht  20961  dvdsflf1o  20972  dvdsflsumcom  20973  chtlepsi  20990  fsumvma2  20998  pclogsum  20999  vmasum  21000  logfac2  21001  chpval2  21002  chpchtsum  21003  logfaclbnd  21006  logexprlim  21009  logfacrlim2  21010  pcbcctr  21060  bposlem1  21068  bposlem2  21069  lgscllem  21087  lgsval2lem  21090  lgsval4a  21102  lgsneg  21103  lgsdir  21114  lgsdilem2  21115  lgsdi  21116  lgsne0  21117  lgsqrlem2  21126  lgseisenlem1  21133  lgseisenlem2  21134  lgseisenlem3  21135  lgseisenlem4  21136  lgseisen  21137  lgsquadlem1  21138  lgsquadlem2  21139  lgsquadlem3  21140  chebbnd1lem1  21163  vmadivsum  21176  vmadivsumb  21177  rplogsumlem2  21179  dchrisum0lem1a  21180  rpvmasumlem  21181  dchrisumlem2  21184  dchrmusum2  21188  dchrvmasumlem1  21189  dchrvmasum2lem  21190  dchrvmasum2if  21191  dchrvmasumlem2  21192  dchrvmasumlem3  21193  dchrvmasumiflem1  21195  dchrvmasumiflem2  21196  dchrisum0fno1  21205  rpvmasum2  21206  dchrisum0re  21207  dchrisum0lem1b  21209  dchrisum0lem1  21210  dchrisum0lem2a  21211  dchrisum0lem2  21212  dchrisum0lem3  21213  dchrisum0  21214  dchrmusumlem  21216  dchrvmasumlem  21217  rplogsum  21221  mudivsum  21224  mulogsumlem  21225  mulogsum  21226  mulog2sumlem1  21228  mulog2sumlem2  21229  mulog2sumlem3  21230  vmalogdivsum2  21232  vmalogdivsum  21233  2vmadivsumlem  21234  log2sumbnd  21238  selberglem1  21239  selberglem2  21240  selberglem3  21241  selberg  21242  selbergb  21243  selberg2lem  21244  selberg2  21245  selberg2b  21246  chpdifbndlem1  21247  logdivbnd  21250  selberg3lem1  21251  selberg3lem2  21252  selberg3  21253  selberg4lem1  21254  selberg4  21255  pntrsumo1  21259  pntrsumbnd  21260  pntrsumbnd2  21261  selbergr  21262  selberg3r  21263  selberg4r  21264  selberg34r  21265  pntsf  21267  pntsval2  21270  pntrlog2bndlem1  21271  pntrlog2bndlem2  21272  pntrlog2bndlem3  21273  pntrlog2bndlem4  21274  pntrlog2bndlem5  21275  pntrlog2bndlem6  21277  pntrlog2bnd  21278  pntpbnd2  21281  pntlemf  21299  pntlemk  21300  pntlemo  21301  iseupa  21687  eupares  21697  eupap1  21698  dipcl  22211  dipcn  22219  sspival  22237  esumpcvgval  24468  esumpmono  24469  esumcvg  24476  ballotlemfc0  24750  ballotlemfcc  24751  ballotlemimin  24763  ballotlemic  24764  ballotlem1c  24765  ballotlemsel1i  24770  ballotlemsf1o  24771  lgamgulm2  24820  lgamcvglem  24824  lgamcvg2  24839  gamcvg2lem  24843  erdszelem4  24880  erdszelem8  24884  erdsze2lem2  24890  cvmliftlem2  24973  cvmliftlem6  24977  cvmliftlem8  24979  cvmliftlem9  24980  cvmliftlem10  24981  prodeq2ii  25239  prodmolem3  25259  prodmolem2a  25260  fprod  25267  prod1  25270  fprodfac  25296  fprodconst  25302  risefallfac  25340  risefacfac  25351  fallfacval4  25359  faclim  25365  bpolydiflem  26100  mblfinlem2  26244  eldioph3b  26823  diophin  26831  diophun  26832  eldiophss  26833  fz1ssnn  26871  irrapxlem4  26888  stoweidlem34  27759  wallispilem4  27793  wallispi  27795  wallispi2lem1  27796  wallispi2  27798  stirlinglem5  27803  stirlinglem7  27805  stirlinglem10  27808  stirlinglem12  27810  swrd0fv0  28193  swrd0fvls  28264
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044
  Copyright terms: Public domain W3C validator