MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznn Unicode version

Theorem elfznn 10819
Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a natural number. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfznn  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )

Proof of Theorem elfznn
StepHypRef Expression
1 elfzelz 10798 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
2 elfzle1 10799 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  1  <_  K )
3 elnnz1 10049 . 2  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  e.  ZZ  /\  1  <_  K ) )
41, 2, 3sylanbrc 645 1  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  K  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   1c1 8738    <_ cle 8868   NNcn 9746   ZZcz 10024   ...cfz 10782
This theorem is referenced by:  elfz1end  10820  bcm1k  11327  bcpasc  11333  seqcoll  11401  isercolllem2  12139  isercolllem3  12140  isercoll  12141  sumeq2ii  12166  summolem3  12187  summolem2a  12188  fsum  12193  sumz  12195  fsumconst  12252  o1fsum  12271  binomlem  12287  incexc2  12297  climcndslem1  12308  climcndslem2  12309  climcnds  12310  harmonic  12317  arisum2  12319  trireciplem  12320  geo2sum  12329  geo2lim  12331  rpnnen2lem10  12502  fzm1ndvds  12580  phicl  12837  prmdivdiv  12855  pcfac  12947  pcbc  12948  prmreclem2  12964  prmreclem3  12965  prmreclem4  12966  prmreclem5  12967  prmreclem6  12968  prmrec  12969  4sqlem13  13004  vdwlem2  13029  vdwlem3  13030  vdwlem10  13037  vdwlem12  13039  mulgnnsubcl  14579  mulgnn0z  14587  mulgnndir  14589  oddvdsnn0  14859  odnncl  14860  gexcl3  14898  efgsres  15047  mulgnn0di  15125  gsumconst  15209  1stcfb  17171  1stckgenlem  17248  lebnumii  18464  ovollb2lem  18847  ovolunlem1a  18855  ovoliunlem1  18861  ovoliunlem2  18862  ovoliun2  18865  ovolscalem1  18872  ovolicc2lem4  18879  voliunlem1  18907  volsup  18913  ioombl1lem4  18918  uniioovol  18934  uniioombllem3a  18939  uniioombllem3  18940  uniioombllem4  18941  uniioombllem5  18942  uniioombllem6  18943  dvply1  19664  aaliou3lem5  19727  aaliou3lem6  19728  dvtaylp  19749  taylthlem2  19753  pserdvlem2  19804  logfac  19954  atantayl  20233  birthdaylem2  20247  emcllem1  20289  emcllem2  20290  emcllem3  20291  emcllem5  20293  emcllem7  20295  harmoniclbnd  20302  harmonicubnd  20303  harmonicbnd4  20304  fsumharmonic  20305  wilthlem1  20306  wilthlem2  20307  ftalem5  20314  basellem1  20318  basellem8  20325  chpf  20361  efchpcl  20363  chpp1  20393  chpwordi  20395  prmorcht  20416  dvdsflf1o  20427  dvdsflsumcom  20428  chtlepsi  20445  fsumvma2  20453  pclogsum  20454  vmasum  20455  logfac2  20456  chpval2  20457  chpchtsum  20458  logfaclbnd  20461  logexprlim  20464  logfacrlim2  20465  pcbcctr  20515  bposlem1  20523  bposlem2  20524  lgscllem  20542  lgsval2lem  20545  lgsval4a  20557  lgsneg  20558  lgsdir  20569  lgsdilem2  20570  lgsdi  20571  lgsne0  20572  lgsqrlem2  20581  lgseisenlem1  20588  lgseisenlem2  20589  lgseisenlem3  20590  lgseisenlem4  20591  lgseisen  20592  lgsquadlem1  20593  lgsquadlem2  20594  lgsquadlem3  20595  chebbnd1lem1  20618  vmadivsum  20631  vmadivsumb  20632  rplogsumlem2  20634  dchrisum0lem1a  20635  rpvmasumlem  20636  dchrisumlem2  20639  dchrmusum2  20643  dchrvmasumlem1  20644  dchrvmasum2lem  20645  dchrvmasum2if  20646  dchrvmasumlem2  20647  dchrvmasumlem3  20648  dchrvmasumiflem1  20650  dchrvmasumiflem2  20651  dchrisum0fno1  20660  rpvmasum2  20661  dchrisum0re  20662  dchrisum0lem1b  20664  dchrisum0lem1  20665  dchrisum0lem2a  20666  dchrisum0lem2  20667  dchrisum0lem3  20668  dchrisum0  20669  dchrmusumlem  20671  dchrvmasumlem  20672  rplogsum  20676  mudivsum  20679  mulogsumlem  20680  mulogsum  20681  mulog2sumlem1  20683  mulog2sumlem2  20684  mulog2sumlem3  20685  vmalogdivsum2  20687  vmalogdivsum  20688  2vmadivsumlem  20689  log2sumbnd  20693  selberglem1  20694  selberglem2  20695  selberglem3  20696  selberg  20697  selbergb  20698  selberg2lem  20699  selberg2  20700  selberg2b  20701  chpdifbndlem1  20702  logdivbnd  20705  selberg3lem1  20706  selberg3lem2  20707  selberg3  20708  selberg4lem1  20709  selberg4  20710  pntrsumo1  20714  pntrsumbnd  20715  pntrsumbnd2  20716  selbergr  20717  selberg3r  20718  selberg4r  20719  selberg34r  20720  pntsf  20722  pntsval2  20725  pntrlog2bndlem1  20726  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bndlem3  20728  pntrlog2bndlem4  20729  pntrlog2bndlem5  20730  pntrlog2bndlem6  20732  pntrlog2bnd  20733  pntpbnd2  20736  pntlemf  20754  pntlemk  20755  pntlemo  20756  dipcl  21288  dipcn  21296  sspival  21314  ballotlemfc0  23051  ballotlemfcc  23052  ballotlemimin  23064  ballotlemic  23065  ballotlem1c  23066  ballotlemsgt1  23069  ballotlemsel1i  23071  ballotlemsf1o  23072  fzossnn  23278  esumpcvgval  23446  esumpmono  23447  esumcvg  23454  erdszelem4  23725  erdszelem8  23729  erdsze2lem2  23735  cvmliftlem2  23817  cvmliftlem6  23821  cvmliftlem8  23823  cvmliftlem9  23824  cvmliftlem10  23825  iseupa  23881  eupares  23899  eupap1  23900  bpolydiflem  24789  eldioph3b  26844  diophin  26852  diophun  26853  eldiophss  26854  fz1ssnn  26892  irrapxlem4  26910  stoweidlem34  27783  wallispilem4  27817  wallispi  27819  wallispi2lem1  27820  wallispi2  27822  stirlinglem5  27827  stirlinglem10  27832  stirlinglem12  27834
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783
  Copyright terms: Public domain W3C validator