MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznn0 Structured version   Unicode version

Theorem elfznn0 11088
Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfznn0  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )

Proof of Theorem elfznn0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 11087 . 2  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( K  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  K  <_  N ) )
21simp1bi 973 1  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726   class class class wbr 4215  (class class class)co 6084   0cc0 8995    <_ cle 9126   NN0cn0 10226   ...cfz 11048
This theorem is referenced by:  bcrpcl  11604  bccmpl  11605  bcp1n  11612  bcp1nk  11613  bcval5  11614  permnn  11622  swrd0len  11774  splfv2a  11790  binomlem  12613  binom1p  12615  binom1dif  12617  bcxmas  12620  climcnds  12636  arisum  12644  arisum2  12645  geolim  12652  geo2sum  12655  mertenslem1  12666  mertenslem2  12667  mertens  12668  efcvgfsum  12693  efcj  12699  efaddlem  12700  effsumlt  12717  eirrlem  12808  fzo0dvdseq  12907  3dvds  12917  prmdiveq  13180  pcbc  13274  vdwapf  13345  vdwlem2  13355  vdwlem6  13359  vdwlem8  13361  efgcpbllemb  15392  psrbaglefi  16442  coe1mul2lem2  16666  coe1mul2  16667  coe1tmmul2  16673  coe1tmmul  16674  mbfi1fseqlem3  19612  mbfi1fseqlem4  19613  itg0  19674  itgz  19675  itgcl  19678  iblabsr  19724  iblmulc2  19725  itgsplit  19730  dvn2bss  19821  coe1mul3  20027  elply2  20120  plyf  20122  elplyd  20126  ply1termlem  20127  plyeq0lem  20134  plypf1  20136  plyaddlem1  20137  plymullem1  20138  plyaddlem  20139  plymullem  20140  coeeulem  20148  coeidlem  20161  coeid3  20164  plyco  20165  coeeq2  20166  dgreq  20168  coefv0  20171  coeaddlem  20172  coemullem  20173  coemulhi  20177  coemulc  20178  coe1termlem  20181  plycn  20184  plycjlem  20199  plycj  20200  plyrecj  20202  dvply1  20206  dvply2g  20207  vieta1lem2  20233  elqaalem2  20242  elqaalem3  20243  aareccl  20248  aannenlem1  20250  aalioulem1  20254  taylply2  20289  taylply  20290  dvtaylp  20291  dvntaylp0  20293  taylthlem2  20295  pserulm  20343  psercn2  20344  pserdvlem2  20349  abelthlem6  20357  abelthlem7  20359  abelthlem8  20360  advlogexp  20551  cxpeq  20646  log2tlbnd  20790  log2ublem2  20792  log2ub  20794  birthdaylem2  20796  birthdaylem3  20797  ftalem1  20860  ftalem5  20864  basellem2  20869  basellem3  20870  dvdsppwf1o  20976  musum  20981  sgmppw  20986  1sgmprm  20988  logexprlim  21014  mersenne  21016  lgseisenlem1  21138  dchrisum0flblem1  21207  pntpbnd2  21286  iseupa  21692  eupares  21702  bcm1n  24156  subfacval2  24878  subfaclim  24879  cvmliftlem7  24983  risefacval2  25331  fallfacval2  25332  fallfacval3  25333  risefaccllem  25334  fallfaccllem  25335  risefacp1  25350  fallfacp1  25351  fallfacfwd  25357  binomfallfaclem1  25360  binomfallfaclem2  25361  binomrisefac  25363  bcfallfac  25365  bpolylem  26099  bpolysum  26104  bpolydiflem  26105  fsumkthpow  26107  bpoly4  26110  iblmulc2nc  26284  jm2.22  27080  jm2.23  27081  hbt  27325  cnsrplycl  27363  psgnunilem2  27409  hashgcdlem  27507  2elfz3nn0  28135  fz0addcom  28136  2elfz2melfz  28140  fz0fzdiffz0  28142  fz0addge0  28143  swrd0fv  28226  swrdswrd0  28235  swrd0swrd0  28236  swrdccat3  28249  swrdccat3a  28251  swrdccat3blem  28252  cshwlen  28275  2cshw1lem3  28284  2cshw1  28285  2cshw2lem3  28288  2cshw2  28289  2cshw  28290  cshwssizelem2  28315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049
  Copyright terms: Public domain W3C validator