MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznn0 Unicode version

Theorem elfznn0 10822
Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfznn0  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )

Proof of Theorem elfznn0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 10821 . 2  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( K  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  K  <_  N ) )
21simp1bi 970 1  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   0cc0 8737    <_ cle 8868   NN0cn0 9965   ...cfz 10782
This theorem is referenced by:  bcrpcl  11321  bccmpl  11322  bcp1n  11328  bcp1nk  11329  bcval5  11330  permnn  11336  swrd0len  11455  splfv2a  11471  binomlem  12287  binom1p  12289  binom1dif  12291  bcxmas  12294  climcnds  12310  arisum  12318  arisum2  12319  geolim  12326  geo2sum  12329  mertenslem1  12340  mertenslem2  12341  mertens  12342  efcvgfsum  12367  efcj  12373  efaddlem  12374  effsumlt  12391  eirrlem  12482  fzo0dvdseq  12581  3dvds  12591  prmdiveq  12854  pcbc  12948  vdwapf  13019  vdwlem2  13029  vdwlem6  13033  vdwlem8  13035  efgcpbllemb  15064  psrbaglefi  16118  coe1mul2lem2  16345  coe1mul2  16346  coe1tmmul2  16352  coe1tmmul  16353  mbfi1fseqlem3  19072  mbfi1fseqlem4  19073  itg0  19134  itgz  19135  itgcl  19138  iblabsr  19184  iblmulc2  19185  itgsplit  19190  dvn2bss  19279  coe1mul3  19485  elply2  19578  plyf  19580  elplyd  19584  ply1termlem  19585  plyeq0lem  19592  plypf1  19594  plyaddlem1  19595  plymullem1  19596  plyaddlem  19597  plymullem  19598  coeeulem  19606  coeidlem  19619  coeid3  19622  plyco  19623  coeeq2  19624  dgreq  19626  coefv0  19629  coeaddlem  19630  coemullem  19631  coemulhi  19635  coemulc  19636  coe1termlem  19639  plycn  19642  plycjlem  19657  plycj  19658  plyrecj  19660  dvply1  19664  dvply2g  19665  vieta1lem2  19691  elqaalem2  19700  elqaalem3  19701  aareccl  19706  aannenlem1  19708  aalioulem1  19712  taylply2  19747  taylply  19748  dvtaylp  19749  dvntaylp0  19751  taylthlem2  19753  pserulm  19798  psercn2  19799  pserdvlem2  19804  abelthlem6  19812  abelthlem7  19814  abelthlem8  19815  advlogexp  20002  cxpeq  20097  log2tlbnd  20241  log2ublem2  20243  log2ub  20245  birthdaylem2  20247  birthdaylem3  20248  ftalem1  20310  ftalem5  20314  basellem2  20319  basellem3  20320  dvdsppwf1o  20426  musum  20431  sgmppw  20436  1sgmprm  20438  logexprlim  20464  mersenne  20466  lgseisenlem1  20588  dchrisum0flblem1  20657  pntpbnd2  20736  dmgmseqn0  23696  subfacval2  23718  subfaclim  23719  cvmliftlem7  23822  iseupa  23881  eupares  23899  bpolylem  24783  bpolysum  24788  bpolydiflem  24789  fsumkthpow  24791  bpoly4  24794  jm2.22  27088  jm2.23  27089  hbt  27334  cnsrplycl  27372  psgnunilem2  27418  hashgcdlem  27516
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783
  Copyright terms: Public domain W3C validator