MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznn0 Unicode version

Theorem elfznn0 10869
Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfznn0  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )

Proof of Theorem elfznn0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 10868 . 2  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( K  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  K  <_  N ) )
21simp1bi 970 1  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1701   class class class wbr 4060  (class class class)co 5900   0cc0 8782    <_ cle 8913   NN0cn0 10012   ...cfz 10829
This theorem is referenced by:  bcrpcl  11368  bccmpl  11369  bcp1n  11375  bcp1nk  11376  bcval5  11377  permnn  11383  swrd0len  11502  splfv2a  11518  binomlem  12334  binom1p  12336  binom1dif  12338  bcxmas  12341  climcnds  12357  arisum  12365  arisum2  12366  geolim  12373  geo2sum  12376  mertenslem1  12387  mertenslem2  12388  mertens  12389  efcvgfsum  12414  efcj  12420  efaddlem  12421  effsumlt  12438  eirrlem  12529  fzo0dvdseq  12628  3dvds  12638  prmdiveq  12901  pcbc  12995  vdwapf  13066  vdwlem2  13076  vdwlem6  13080  vdwlem8  13082  efgcpbllemb  15113  psrbaglefi  16167  coe1mul2lem2  16394  coe1mul2  16395  coe1tmmul2  16401  coe1tmmul  16402  mbfi1fseqlem3  19125  mbfi1fseqlem4  19126  itg0  19187  itgz  19188  itgcl  19191  iblabsr  19237  iblmulc2  19238  itgsplit  19243  dvn2bss  19332  coe1mul3  19538  elply2  19631  plyf  19633  elplyd  19637  ply1termlem  19638  plyeq0lem  19645  plypf1  19647  plyaddlem1  19648  plymullem1  19649  plyaddlem  19650  plymullem  19651  coeeulem  19659  coeidlem  19672  coeid3  19675  plyco  19676  coeeq2  19677  dgreq  19679  coefv0  19682  coeaddlem  19683  coemullem  19684  coemulhi  19688  coemulc  19689  coe1termlem  19692  plycn  19695  plycjlem  19710  plycj  19711  plyrecj  19713  dvply1  19717  dvply2g  19718  vieta1lem2  19744  elqaalem2  19753  elqaalem3  19754  aareccl  19759  aannenlem1  19761  aalioulem1  19765  taylply2  19800  taylply  19801  dvtaylp  19802  dvntaylp0  19804  taylthlem2  19806  pserulm  19851  psercn2  19852  pserdvlem2  19857  abelthlem6  19865  abelthlem7  19867  abelthlem8  19868  advlogexp  20055  cxpeq  20150  log2tlbnd  20294  log2ublem2  20296  log2ub  20298  birthdaylem2  20300  birthdaylem3  20301  ftalem1  20363  ftalem5  20367  basellem2  20372  basellem3  20373  dvdsppwf1o  20479  musum  20484  sgmppw  20489  1sgmprm  20491  logexprlim  20517  mersenne  20519  lgseisenlem1  20641  dchrisum0flblem1  20710  pntpbnd2  20789  dmgmseqn0  23980  subfacval2  24002  subfaclim  24003  cvmliftlem7  24106  iseupa  24165  eupares  24183  bpolylem  25169  bpolysum  25174  bpolydiflem  25175  fsumkthpow  25177  bpoly4  25180  iblmulc2nc  25330  jm2.22  26236  jm2.23  26237  hbt  26482  cnsrplycl  26520  psgnunilem2  26566  hashgcdlem  26664
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830
  Copyright terms: Public domain W3C validator