MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzo0 Unicode version

Theorem elfzo0 11130
Description: Membership in a half-open integer range based at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzo0  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  <->  ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B
) )

Proof of Theorem elfzo0
StepHypRef Expression
1 elfzouz 11103 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
2 elnn0uz 10483 . . . 4  |-  ( A  e.  NN0  <->  A  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )
31, 2sylibr 204 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  ->  A  e.  NN0 )
4 elfzolt3b 11110 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  ->  0  e.  ( 0..^ B ) )
5 lbfzo0 11129 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0..^ B )  <->  B  e.  NN )
64, 5sylib 189 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  ->  B  e.  NN )
7 elfzolt2 11107 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  ->  A  <  B )
83, 6, 73jca 1134 . 2  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  ->  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  < 
B ) )
9 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  ->  A  e.  NN0 )
109, 2sylib 189 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
11 nnz 10263 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
12113ad2ant2 979 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  ->  B  e.  ZZ )
13 simp3 959 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  ->  A  <  B )
14 elfzo2 11102 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B ) )
1510, 12, 13, 14syl3anbrc 1138 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  ->  A  e.  ( 0..^ B ) )
168, 15impbii 181 1  |-  ( A  e.  ( 0..^ B )  <->  ( A  e. 
NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ w3a 936    e. wcel 1721   class class class wbr 4176   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   0cc0 8950    < clt 9080   NNcn 9960   NN0cn0 10181   ZZcz 10242   ZZ>=cuz 10448  ..^cfzo 11094
This theorem is referenced by:  elfznelfzo  11151  wrdeqs1cat  11748  swrds2  11839  smueqlem  12961  usgrcyclnl2  21585  nvnencycllem  21587  4cycl4dv  21611  psgnunilem5  27289  psgnunilem2  27290  psgnunilem3  27291  psgnunilem4  27292  hashgcdlem  27388  fzo1fzo0n0  27992  swrdswrd  28015  swrdccatin1  28020  swrdccatin12lem3a  28025  swrdccatin12lem3b  28026  swrdccatin12lem3c  28027  swrdccatin12lem3  28028  swrdccatin12lem4  28029  swrdccatin12  28030  swrdccatin12b  28031  swrdccat3  28033  usgra2pthlem1  28044
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004  df-fzo 11095
  Copyright terms: Public domain W3C validator