MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzoel1 Unicode version

Theorem elfzoel1 10873
Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzoel1  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  B  e.  ZZ )

Proof of Theorem elfzoel1
StepHypRef Expression
1 ne0i 3461 . . 3  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( B..^ C )  =/=  (/) )
2 fzof 10872 . . . . . 6  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ
32fdmi 5394 . . . . 5  |-  dom ..^  =  ( ZZ  X.  ZZ )
43ndmov 6004 . . . 4  |-  ( -.  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B..^ C
)  =  (/) )
54necon1ai 2488 . . 3  |-  ( ( B..^ C )  =/=  (/)  ->  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
61, 5syl 15 . 2  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
76simpld 445 1  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  B  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684    =/= wne 2446   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625    X. cxp 4687  (class class class)co 5858   ZZcz 10024  ..^cfzo 10870
This theorem is referenced by:  elfzoelz  10875  elfzo2  10878  elfzole1  10882  elfzolt2  10883  elfzolt3  10884  elfzolt3b  10886  fzospliti  10898  fzoaddel  10906  fzosubel  10908  fzosubel3  10910  fzofzp1  10916  fzostep1  10922  fzomaxdiflem  11826  fzocongeq  12582
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-neg 9040  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871
  Copyright terms: Public domain W3C validator