MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzoel2 Unicode version

Theorem elfzoel2 10890
Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzoel2  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  C  e.  ZZ )

Proof of Theorem elfzoel2
StepHypRef Expression
1 ne0i 3474 . . 3  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( B..^ C )  =/=  (/) )
2 fzof 10888 . . . . . 6  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ
32fdmi 5410 . . . . 5  |-  dom ..^  =  ( ZZ  X.  ZZ )
43ndmov 6020 . . . 4  |-  ( -.  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B..^ C
)  =  (/) )
54necon1ai 2501 . . 3  |-  ( ( B..^ C )  =/=  (/)  ->  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
61, 5syl 15 . 2  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
76simprd 449 1  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  C  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696    =/= wne 2459   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638    X. cxp 4703  (class class class)co 5874   ZZcz 10040  ..^cfzo 10886
This theorem is referenced by:  elfzoelz  10891  elfzo2  10894  elfzole1  10898  elfzolt2  10899  elfzolt3  10900  elfzolt2b  10901  elfzolt3b  10902  fzonel  10903  elfzouz2  10904  fzonnsub  10910  fzoss1  10912  fzospliti  10914  fzodisj  10916  fzoaddel  10922  fzosubel  10924  fzoend  10930  fzofzp1  10932  peano2fzor  10935  fzostep1  10938  fzomaxdiflem  11842  fzo0dvdseq  12597  fzocongeq  12598  efgsp1  15062  efgsres  15063  stoweidlem3  27855
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-neg 9056  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887
  Copyright terms: Public domain W3C validator