MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzoel2 Unicode version

Theorem elfzoel2 11069
Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzoel2  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  C  e.  ZZ )

Proof of Theorem elfzoel2
StepHypRef Expression
1 ne0i 3577 . . 3  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( B..^ C )  =/=  (/) )
2 fzof 11067 . . . . . 6  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ
32fdmi 5536 . . . . 5  |-  dom ..^  =  ( ZZ  X.  ZZ )
43ndmov 6170 . . . 4  |-  ( -.  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B..^ C
)  =  (/) )
54necon1ai 2592 . . 3  |-  ( ( B..^ C )  =/=  (/)  ->  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
61, 5syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
76simprd 450 1  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  C  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717    =/= wne 2550   (/)c0 3571   ~Pcpw 3742    X. cxp 4816  (class class class)co 6020   ZZcz 10214  ..^cfzo 11065
This theorem is referenced by:  elfzoelz  11070  elfzo2  11073  elfzole1  11077  elfzolt2  11078  elfzolt3  11079  elfzolt2b  11080  elfzolt3b  11081  fzonel  11082  elfzouz2  11083  fzonnsub  11090  fzoss1  11092  fzospliti  11095  fzodisj  11097  fzoaddel  11103  fzosubel  11105  fzoend  11114  fzofzp1  11116  elfznelfzob  11120  peano2fzor  11121  fzostep1  11124  fzomaxdiflem  12073  fzo0dvdseq  12829  fzocongeq  12830  efgsp1  15296  efgsres  15297  stoweidlem3  27420
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-neg 9226  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-fzo 11066
  Copyright terms: Public domain W3C validator