MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzoelz Structured version   Unicode version

Theorem elfzoelz 11132
Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzoelz  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  A  e.  ZZ )

Proof of Theorem elfzoelz
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 11130 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  B  e.  ZZ )
2 elfzoel2 11131 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  C  e.  ZZ )
3 fzof 11129 . . . . 5  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ
43fovcl 6167 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B..^ C )  e.  ~P ZZ )
51, 2, 4syl2anc 643 . . 3  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( B..^ C )  e.  ~P ZZ )
65elpwid 3800 . 2  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( B..^ C )  C_  ZZ )
7 id 20 . 2  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  A  e.  ( B..^ C ) )
86, 7sseldd 3341 1  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  A  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   ~Pcpw 3791  (class class class)co 6073   ZZcz 10274  ..^cfzo 11127
This theorem is referenced by:  elfzo2  11135  elfzole1  11139  elfzolt2  11140  elfzolt3  11141  elfzolt2b  11142  elfzouz2  11145  fzonnsub  11152  fzospliti  11157  fzodisj  11159  fzoaddel  11167  fzosubel  11169  elfznelfzob  11185  wrdexg  11731  ccatval3  11739  ccatlid  11740  ccatass  11742  swrd0val  11760  swrdid  11764  ccatswrd  11765  splfv1  11776  splfv2a  11777  swrds1  11779  revccat  11790  revrev  11791  fzomaxdiflem  12138  fzomaxdif  12139  fzo0dvdseq  12894  fzocongeq  12895  crt  13159  phimullem  13160  eulerthlem1  13162  eulerthlem2  13163  odf1o2  15199  odngen  15203  efgsp1  15361  efgsres  15362  znf1o  16824  zntoslem  16829  znunithash  16837  dvfsumle  19897  dvfsumabs  19899  dchrisumlem1  21175  dchrisumlem2  21176  dchrisum  21178  pntlemq  21287  pntlemr  21288  pntlemj  21289  pntlemi  21290  pntlemf  21291  wlkdvspthlem  21599  fargshiftf1  21616  eupatrl  21682  psgnunilem5  27375  hashgcdlem  27474  hashgcdeq  27475  phisum  27476  stoweidlem3  27709  fzonmapblen  28107  swrdswrd  28155  swrdccatin12lem3a  28164  swrdccatin2  28166  swrdccatin12lem3  28168  reumodprminv  28183  modprm0  28184  cshwidx  28198  cshwidx0  28200  cshwidxm1  28201  cshweqrep  28227  cshwsame  28230  cshwssizelem4a  28236  cshwssizelem4  28237
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-neg 9286  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128
  Copyright terms: Public domain W3C validator