MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzom1b Unicode version

Theorem elfzom1b 11112
Description: An integer is a member of a 1-based finite set of sequential integers iff its predecessor is a member of the corresponding 0-based set. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzom1b  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 1..^ N )  <->  ( K  -  1 )  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) ) )

Proof of Theorem elfzom1b
StepHypRef Expression
1 peano2zm 10246 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
2 elfzm1b 11049 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  <->  ( K  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  -  1 )  -  1 ) ) ) )
31, 2sylan2 461 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  <-> 
( K  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  -  1 )  - 
1 ) ) ) )
4 fzoval 11065 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1..^ N )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
54adantl 453 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 1..^ N )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
65eleq2d 2448 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 1..^ N )  <->  K  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )
71adantl 453 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
8 fzoval 11065 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
0..^ ( N  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( N  -  1 )  -  1 ) ) )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0..^ ( N  -  1 ) )  =  ( 0 ... ( ( N  - 
1 )  -  1 ) ) )
109eleq2d 2448 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( K  - 
1 )  e.  ( 0..^ ( N  - 
1 ) )  <->  ( K  -  1 )  e.  ( 0 ... (
( N  -  1 )  -  1 ) ) ) )
113, 6, 103bitr4d 277 1  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 1..^ N )  <->  ( K  -  1 )  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717  (class class class)co 6014   0cc0 8917   1c1 8918    - cmin 9217   ZZcz 10208   ...cfz 10969  ..^cfzo 11059
This theorem is referenced by:  elfznelfzo  11113  efgsp1  15290  efgsres  15291
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-cnex 8973  ax-resscn 8974  ax-1cn 8975  ax-icn 8976  ax-addcl 8977  ax-addrcl 8978  ax-mulcl 8979  ax-mulrcl 8980  ax-mulcom 8981  ax-addass 8982  ax-mulass 8983  ax-distr 8984  ax-i2m1 8985  ax-1ne0 8986  ax-1rid 8987  ax-rnegex 8988  ax-rrecex 8989  ax-cnre 8990  ax-pre-lttri 8991  ax-pre-lttrn 8992  ax-pre-ltadd 8993  ax-pre-mulgt0 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-nel 2547  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-pss 3273  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-tp 3759  df-op 3760  df-uni 3952  df-iun 4031  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-tr 4238  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-fr 4476  df-we 4478  df-ord 4519  df-on 4520  df-lim 4521  df-suc 4522  df-om 4780  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-1st 6282  df-2nd 6283  df-riota 6479  df-recs 6563  df-rdg 6598  df-er 6835  df-en 7040  df-dom 7041  df-sdom 7042  df-pnf 9049  df-mnf 9050  df-xr 9051  df-ltxr 9052  df-le 9053  df-sub 9219  df-neg 9220  df-nn 9927  df-n0 10148  df-z 10209  df-uz 10415  df-fz 10970  df-fzo 11060
  Copyright terms: Public domain W3C validator