MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuz Unicode version

Theorem elfzuz 10794
Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to a set of upper integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuz  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)

Proof of Theorem elfzuz
StepHypRef Expression
1 elfzuzb 10792 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
21simplbi 446 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782
This theorem is referenced by:  elfzel1  10797  elfzelz  10798  elfzle1  10799  eluzfz2b  10805  fzsplit2  10815  fzsplit  10816  fzopth  10828  fzss1  10830  fzss2  10831  fzssuz  10832  fzp1elp1  10839  uzsplit  10855  fzosplit  10899  seqf2  11065  seqfeq2  11069  seqfeq  11071  sermono  11078  seqf1olem2  11086  seqz  11094  seqfeq3  11096  ser0  11098  seqcoll  11401  swrdval2  11453  swrd0val  11454  splid  11468  spllen  11469  splfv1  11470  limsupgre  11955  clim2ser  12128  clim2ser2  12129  isermulc2  12131  iserle  12133  climub  12135  isercolllem1  12138  isercolllem3  12140  isercoll2  12142  iseraltlem1  12154  fsumcvg  12185  fsumser  12203  isumclim3  12222  isumadd  12230  fsump1i  12232  fsum0diaglem  12239  o1fsum  12271  iserabs  12273  cvgcmp  12274  cvgcmpub  12275  cvgcmpce  12276  isumsplit  12299  isum1p  12300  isumsup2  12305  climcndslem1  12308  climcndslem2  12309  climcnds  12310  geoserg  12324  mertenslem1  12340  prmind2  12769  pcfac  12947  prmreclem4  12966  prmreclem5  12967  efgtlen  15035  efgredleme  15052  efgredlemc  15054  frgpuplem  15081  ovolunlem1a  18855  ovolicc1  18875  uniioombllem3  18940  dvfsumrlimf  19372  dvfsumlem1  19373  dvfsumlem2  19374  dvfsumlem3  19375  dvfsumlem4  19376  dvfsum2  19381  coeidlem  19619  coeid3  19622  vieta1lem2  19691  mtest  19781  birthdaylem2  20247  wilth  20309  ftalem4  20313  ftalem5  20314  chtub  20451  mersenne  20466  bposlem6  20528  lgsdilem2  20570  rplogsumlem1  20633  rplogsumlem2  20634  dchrisumlem2  20639  dchrisum0lem1  20665  logdivbnd  20705  pntrsumbnd2  20716  pntrlog2bndlem1  20726  pntpbnd1  20735  pntpbnd2  20736  pntlemh  20748  pntlemj  20752  fzsplit3  23031  subfacp1lem3  23713  predfz  24203  axlowdimlem17  24586  seqzp2  25355  mettrifi  26473  geomcau  26475  fmulcl  27711  fmuldfeqlem1  27712  stoweidlem11  27760  stoweidlem17  27766  stirlinglem7  27829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-neg 9040  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783
  Copyright terms: Public domain W3C validator