MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuz Unicode version

Theorem elfzuz 10810
Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to a set of upper integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuz  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)

Proof of Theorem elfzuz
StepHypRef Expression
1 elfzuzb 10808 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
21simplbi 446 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798
This theorem is referenced by:  elfzel1  10813  elfzelz  10814  elfzle1  10815  eluzfz2b  10821  fzsplit2  10831  fzsplit  10832  fzopth  10844  fzss1  10846  fzss2  10847  fzssuz  10848  fzp1elp1  10855  uzsplit  10871  fzosplit  10915  seqf2  11081  seqfeq2  11085  seqfeq  11087  sermono  11094  seqf1olem2  11102  seqz  11110  seqfeq3  11112  ser0  11114  seqcoll  11417  swrdval2  11469  swrd0val  11470  splid  11484  spllen  11485  splfv1  11486  limsupgre  11971  clim2ser  12144  clim2ser2  12145  isermulc2  12147  iserle  12149  climub  12151  isercolllem1  12154  isercolllem3  12156  isercoll2  12158  iseraltlem1  12170  fsumcvg  12201  fsumser  12219  isumclim3  12238  isumadd  12246  fsump1i  12248  fsum0diaglem  12255  o1fsum  12287  iserabs  12289  cvgcmp  12290  cvgcmpub  12291  cvgcmpce  12292  isumsplit  12315  isum1p  12316  isumsup2  12321  climcndslem1  12324  climcndslem2  12325  climcnds  12326  geoserg  12340  mertenslem1  12356  prmind2  12785  pcfac  12963  prmreclem4  12982  prmreclem5  12983  efgtlen  15051  efgredleme  15068  efgredlemc  15070  frgpuplem  15097  ovolunlem1a  18871  ovolicc1  18891  uniioombllem3  18956  dvfsumrlimf  19388  dvfsumlem1  19389  dvfsumlem2  19390  dvfsumlem3  19391  dvfsumlem4  19392  dvfsum2  19397  coeidlem  19635  coeid3  19638  vieta1lem2  19707  mtest  19797  birthdaylem2  20263  wilth  20325  ftalem4  20329  ftalem5  20330  chtub  20467  mersenne  20482  bposlem6  20544  lgsdilem2  20586  rplogsumlem1  20649  rplogsumlem2  20650  dchrisumlem2  20655  dchrisum0lem1  20681  logdivbnd  20721  pntrsumbnd2  20732  pntrlog2bndlem1  20742  pntpbnd1  20751  pntpbnd2  20752  pntlemh  20764  pntlemj  20768  fzsplit3  23047  subfacp1lem3  23728  fprodcvg  24153  prodf1  24165  predfz  24274  axlowdimlem17  24658  seqzp2  25458  mettrifi  26576  geomcau  26578  fmulcl  27814  fmuldfeqlem1  27815  stoweidlem11  27863  stoweidlem17  27869  stirlinglem7  27932
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-neg 9056  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799
  Copyright terms: Public domain W3C validator