MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuz Structured version   Unicode version

Theorem elfzuz 11060
Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to a set of upper integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuz  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)

Proof of Theorem elfzuz
StepHypRef Expression
1 elfzuzb 11058 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
21simplbi 448 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048
This theorem is referenced by:  elfzel1  11063  elfzelz  11064  elfzle1  11065  eluzfz2b  11071  fzsplit2  11081  fzsplit  11082  fzopth  11094  fzss1  11096  fzss2  11097  fzssuz  11098  fzp1elp1  11105  uzsplit  11123  fzosplit  11171  seqf2  11347  seqfeq2  11351  seqfeq  11353  sermono  11360  seqf1olem2  11368  seqz  11376  seqfeq3  11378  ser0  11380  seqcoll  11717  swrdval2  11772  swrd0val  11773  splid  11787  spllen  11788  splfv1  11789  limsupgre  12280  clim2ser  12453  clim2ser2  12454  isermulc2  12456  iserle  12458  climub  12460  isercolllem1  12463  isercolllem3  12465  isercoll2  12467  iseraltlem1  12480  fsumcvg  12511  fsumser  12529  isumclim3  12548  isumadd  12556  fsump1i  12558  fsum0diaglem  12565  o1fsum  12597  iserabs  12599  cvgcmp  12600  cvgcmpub  12601  cvgcmpce  12602  isumsplit  12625  isum1p  12626  isumsup2  12631  climcndslem1  12634  climcndslem2  12635  climcnds  12636  geoserg  12650  mertenslem1  12666  prmind2  13095  pcfac  13273  prmreclem4  13292  prmreclem5  13293  efgtlen  15363  efgredleme  15380  efgredlemc  15382  frgpuplem  15409  ovolunlem1a  19397  ovolicc1  19417  uniioombllem3  19482  dvfsumrlimf  19914  dvfsumlem1  19915  dvfsumlem2  19916  dvfsumlem3  19917  dvfsumlem4  19918  dvfsum2  19923  coeidlem  20161  coeid3  20164  vieta1lem2  20233  mtest  20325  mtestbdd  20326  birthdaylem2  20796  wilth  20859  ftalem4  20863  ftalem5  20864  chtub  21001  mersenne  21016  bposlem6  21078  lgsdilem2  21120  rplogsumlem1  21183  rplogsumlem2  21184  dchrisumlem2  21189  dchrisum0lem1  21215  logdivbnd  21255  pntrsumbnd2  21266  pntrlog2bndlem1  21276  pntpbnd1  21285  pntpbnd2  21286  pntlemh  21298  pntlemj  21302  fzsplit3  24155  ballotlemfrci  24790  subfacp1lem3  24873  clim2div  25222  prodf1  25224  prodfn0  25227  ntrivcvgmullem  25234  fprodcvg  25261  fprodntriv  25273  fprodabs  25302  fprodefsum  25303  fprodeq0  25304  iprodclim3  25318  iprodmul  25321  predfz  25483  axlowdimlem17  25902  mblfinlem2  26256  mettrifi  26477  geomcau  26479  fmulcl  27701  fmuldfeqlem1  27702  stoweidlem11  27750  stoweidlem17  27756  stirlinglem7  27819  ssfz12  28127  swrdswrd  28233  swrdccatin2lem1  28240  swrdccatin12  28248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-neg 9299  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049
  Copyright terms: Public domain W3C validator