MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuz Structured version   Unicode version

Theorem elfzuz 11047
Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to a set of upper integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuz  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)

Proof of Theorem elfzuz
StepHypRef Expression
1 elfzuzb 11045 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
21simplbi 447 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ZZ>=cuz 10480   ...cfz 11035
This theorem is referenced by:  elfzel1  11050  elfzelz  11051  elfzle1  11052  eluzfz2b  11058  fzsplit2  11068  fzsplit  11069  fzopth  11081  fzss1  11083  fzss2  11084  fzssuz  11085  fzp1elp1  11092  uzsplit  11110  fzosplit  11158  seqf2  11334  seqfeq2  11338  seqfeq  11340  sermono  11347  seqf1olem2  11355  seqz  11363  seqfeq3  11365  ser0  11367  seqcoll  11704  swrdval2  11759  swrd0val  11760  splid  11774  spllen  11775  splfv1  11776  limsupgre  12267  clim2ser  12440  clim2ser2  12441  isermulc2  12443  iserle  12445  climub  12447  isercolllem1  12450  isercolllem3  12452  isercoll2  12454  iseraltlem1  12467  fsumcvg  12498  fsumser  12516  isumclim3  12535  isumadd  12543  fsump1i  12545  fsum0diaglem  12552  o1fsum  12584  iserabs  12586  cvgcmp  12587  cvgcmpub  12588  cvgcmpce  12589  isumsplit  12612  isum1p  12613  isumsup2  12618  climcndslem1  12621  climcndslem2  12622  climcnds  12623  geoserg  12637  mertenslem1  12653  prmind2  13082  pcfac  13260  prmreclem4  13279  prmreclem5  13280  efgtlen  15350  efgredleme  15367  efgredlemc  15369  frgpuplem  15396  ovolunlem1a  19384  ovolicc1  19404  uniioombllem3  19469  dvfsumrlimf  19901  dvfsumlem1  19902  dvfsumlem2  19903  dvfsumlem3  19904  dvfsumlem4  19905  dvfsum2  19910  coeidlem  20148  coeid3  20151  vieta1lem2  20220  mtest  20312  mtestbdd  20313  birthdaylem2  20783  wilth  20846  ftalem4  20850  ftalem5  20851  chtub  20988  mersenne  21003  bposlem6  21065  lgsdilem2  21107  rplogsumlem1  21170  rplogsumlem2  21171  dchrisumlem2  21176  dchrisum0lem1  21202  logdivbnd  21242  pntrsumbnd2  21253  pntrlog2bndlem1  21263  pntpbnd1  21272  pntpbnd2  21273  pntlemh  21285  pntlemj  21289  fzsplit3  24142  ballotlemfrci  24777  subfacp1lem3  24860  clim2div  25209  prodf1  25211  prodfn0  25214  ntrivcvgmullem  25221  fprodcvg  25248  fprodntriv  25260  fprodabs  25289  fprodefsum  25290  fprodeq0  25291  iprodclim3  25305  iprodmul  25308  predfz  25470  axlowdimlem17  25889  mblfinlem  26234  mettrifi  26444  geomcau  26446  fmulcl  27668  fmuldfeqlem1  27669  stoweidlem11  27717  stoweidlem17  27723  stirlinglem7  27786  ssfz12  28078  swrdswrd  28155  swrdccatin2lem1  28162  swrdccatin12  28170
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-neg 9286  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036
  Copyright terms: Public domain W3C validator