MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuz Unicode version

Theorem elfzuz 10987
Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to a set of upper integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuz  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)

Proof of Theorem elfzuz
StepHypRef Expression
1 elfzuzb 10985 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
21simplbi 447 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   ZZ>=cuz 10420   ...cfz 10975
This theorem is referenced by:  elfzel1  10990  elfzelz  10991  elfzle1  10992  eluzfz2b  10998  fzsplit2  11008  fzsplit  11009  fzopth  11021  fzss1  11023  fzss2  11024  fzssuz  11025  fzp1elp1  11032  uzsplit  11048  fzosplit  11096  seqf2  11269  seqfeq2  11273  seqfeq  11275  sermono  11282  seqf1olem2  11290  seqz  11298  seqfeq3  11300  ser0  11302  seqcoll  11639  swrdval2  11694  swrd0val  11695  splid  11709  spllen  11710  splfv1  11711  limsupgre  12202  clim2ser  12375  clim2ser2  12376  isermulc2  12378  iserle  12380  climub  12382  isercolllem1  12385  isercolllem3  12387  isercoll2  12389  iseraltlem1  12402  fsumcvg  12433  fsumser  12451  isumclim3  12470  isumadd  12478  fsump1i  12480  fsum0diaglem  12487  o1fsum  12519  iserabs  12521  cvgcmp  12522  cvgcmpub  12523  cvgcmpce  12524  isumsplit  12547  isum1p  12548  isumsup2  12553  climcndslem1  12556  climcndslem2  12557  climcnds  12558  geoserg  12572  mertenslem1  12588  prmind2  13017  pcfac  13195  prmreclem4  13214  prmreclem5  13215  efgtlen  15285  efgredleme  15302  efgredlemc  15304  frgpuplem  15331  ovolunlem1a  19259  ovolicc1  19279  uniioombllem3  19344  dvfsumrlimf  19776  dvfsumlem1  19777  dvfsumlem2  19778  dvfsumlem3  19779  dvfsumlem4  19780  dvfsum2  19785  coeidlem  20023  coeid3  20026  vieta1lem2  20095  mtest  20187  mtestbdd  20188  birthdaylem2  20658  wilth  20721  ftalem4  20725  ftalem5  20726  chtub  20863  mersenne  20878  bposlem6  20940  lgsdilem2  20982  rplogsumlem1  21045  rplogsumlem2  21046  dchrisumlem2  21051  dchrisum0lem1  21077  logdivbnd  21117  pntrsumbnd2  21128  pntrlog2bndlem1  21138  pntpbnd1  21147  pntpbnd2  21148  pntlemh  21160  pntlemj  21164  fzsplit3  23986  ballotlemfrci  24564  subfacp1lem3  24647  clim2div  24996  prodf1  24998  prodfn0  25001  ntrivcvgmullem  25008  fprodcvg  25035  fprodntriv  25047  fprodabs  25076  fprodefsum  25077  fprodeq0  25078  iprodclim3  25085  iprodmul  25088  predfz  25227  axlowdimlem17  25611  mettrifi  26154  geomcau  26156  fmulcl  27379  fmuldfeqlem1  27380  stoweidlem11  27428  stoweidlem17  27434  stirlinglem7  27497
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-neg 9226  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976
  Copyright terms: Public domain W3C validator