MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuz2 Structured version   Unicode version

Theorem elfzuz2 11064
Description: Implication of membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuz2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)

Proof of Theorem elfzuz2
StepHypRef Expression
1 elfzuzb 11055 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
2 eqid 2438 . . 3  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
32uztrn2 10505 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
41, 3sylbi 189 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   ZZ>=cuz 10490   ...cfz 11045
This theorem is referenced by:  elfzle3  11065  fzn0  11072  fzopth  11091  bcm1k  11608  bcpasc  11614  seqcoll  11714  splid  11784  spllen  11785  gexcl3  15223  dvn2bss  19818  pserdvlem2  20346  ppinprm  20937  chtnprm  20939  chpval2  21004  chpchtsum  21005  lgsdir2lem2  21110  elfzubelfz  28127  swrdccatin12lem3c  28233  swrdccatin12  28236  2cshw1lem2  28271
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-neg 9296  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046
  Copyright terms: Public domain W3C validator