MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuz3 Unicode version

Theorem elfzuz3 10795
Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in a set of upper integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuz3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)

Proof of Theorem elfzuz3
StepHypRef Expression
1 elfzuzb 10792 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
21simprbi 450 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782
This theorem is referenced by:  elfzel2  10796  elfzle2  10800  peano2fzr  10808  fzsplit2  10815  fzsplit  10816  fznn0sub  10824  fzopth  10828  fzss1  10830  fzss2  10831  fzp1elp1  10839  fzosplit  10899  fzoend  10914  fzofzp1b  10917  uzindi  11043  seqcl2  11064  seqfveq2  11068  monoord  11076  sermono  11078  seqsplit  11079  seqf1olem2  11086  seqid2  11092  seqhomo  11093  seqz  11094  bcval5  11330  seqcoll  11401  seqcoll2  11402  swrdval2  11453  swrd0val  11454  swrd0len  11455  spllen  11469  splfv2a  11471  fsum0diag2  12245  climcndslem2  12309  pcbc  12948  vdwlem2  13029  vdwlem5  13032  vdwlem6  13033  vdwlem8  13035  efgsres  15047  efgredleme  15052  efgcpbllemb  15064  imasdsf1olem  17937  volsup  18913  dvn2bss  19279  dvtaylp  19749  wilth  20309  ftalem1  20310  ppisval2  20342  dvdsppwf1o  20426  logfaclbnd  20461  bposlem6  20528  fzsplit3  23031  ballotlemsima  23074  ballotlemfrc  23085  ballotlemfrceq  23087  erdszelem7  23728  erdszelem8  23729  eupares  23899  predfz  24203  mettrifi  26473  psgnunilem5  27417  fmulcl  27711  fmul01lt1lem2  27715  stoweidlem11  27760  stoweidlem17  27766
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-neg 9040  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783
  Copyright terms: Public domain W3C validator