MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuzb Unicode version

Theorem elfzuzb 10808
Description: Membership in a finite set of sequential integers in terms of sets of upper integers. (Contributed by NM, 18-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuzb  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )

Proof of Theorem elfzuzb
StepHypRef Expression
1 df-3an 936 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  <->  ( (
( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
2 an6 1261 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )  <-> 
( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
3 df-3an 936 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ ) )
4 anandir 802 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ ) 
<->  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) ) )
5 ancom 437 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)
65anbi2i 675 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )
73, 4, 63bitri 262 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )
87anbi1i 676 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  <->  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
91, 2, 83bitr4ri 269 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) )
10 elfz2 10805 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
11 eluz2 10252 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K ) )
12 eluz2 10252 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )
1311, 12anbi12i 678 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) )
149, 10, 133bitr4i 268 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    <_ cle 8884   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798
This theorem is referenced by:  eluzfz  10809  elfzuz  10810  elfzuz3  10811  elfzuz2  10817  peano2fzr  10824  fzsplit2  10831  elfz2nn0  10837  fzass4  10845  fzss1  10846  fzss2  10847  fzp1elp1  10855  fznn  10868  elfzofz  10905  fzofzp1b  10933  fzosplitsn  10936  seqcl2  11080  seqfveq2  11084  monoord  11092  seqid2  11108  bcn1  11341  fz1isolem  11415  seqcoll  11417  swrdccat1  11476  swrdccat2  11477  spllen  11485  splfv2a  11487  splval2  11488  swrds1  11489  caubnd  11858  isercolllem2  12155  isercolllem3  12156  summolem2a  12204  fsum0diag2  12261  climcndslem1  12324  mertenslem1  12356  vdwlem2  13045  vdwlem8  13051  gexcl3  14914  efginvrel2  15052  efgredleme  15068  efgcpbllemb  15080  1stckgenlem  17264  imasdsf1olem  17953  iscmet3lem1  18733  dvtaylp  19765  mtest  19797  ppisval  20357  ppisval2  20358  chtdif  20412  ppidif  20417  logfaclbnd  20477  bposlem4  20542  dchrisumlem2  20655  pntpbnd1  20751  fzsplit3  23047  esumcvg  23469  eupath2lem3  23918  prodmolem2a  24157  mettrifi  26576
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-neg 9056  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799
  Copyright terms: Public domain W3C validator