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Theorem elgrug 8659
Description: Properties of a Grothendieck's universe. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
elgrug  |-  ( U  e.  V  ->  ( U  e.  Univ  <->  ( Tr  U  /\  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x
) U. ran  y  e.  U ) ) ) )
Distinct variable group:    x, U, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)

Proof of Theorem elgrug
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 treq 4300 . . 3  |-  ( u  =  U  ->  ( Tr  u  <->  Tr  U )
)
2 eleq2 2496 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( ~P x  e.  u  <->  ~P x  e.  U ) )
3 eleq2 2496 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( { x ,  y }  e.  u  <->  { x ,  y }  e.  U ) )
43raleqbi1dv 2904 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  <->  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U ) )
5 oveq1 6080 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  (
u  ^m  x )  =  ( U  ^m  x ) )
6 eleq2 2496 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( U. ran  y  e.  u  <->  U.
ran  y  e.  U
) )
75, 6raleqbidv 2908 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( A. y  e.  (
u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u  <->  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U
) )
82, 4, 73anbi123d 1254 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  (
( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x
) U. ran  y  e.  u )  <->  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  {
x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U )
) )
98raleqbi1dv 2904 . . 3  |-  ( u  =  U  ->  ( A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
)  <->  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U
) ) )
101, 9anbi12d 692 . 2  |-  ( u  =  U  ->  (
( Tr  u  /\  A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
) )  <->  ( Tr  U  /\  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x
) U. ran  y  e.  U ) ) ) )
11 df-gru 8658 . 2  |-  Univ  =  { u  |  ( Tr  u  /\  A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  {
x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u )
) }
1210, 11elab2g 3076 1  |-  ( U  e.  V  ->  ( U  e.  Univ  <->  ( Tr  U  /\  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x
) U. ran  y  e.  U ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   ~Pcpw 3791   {cpr 3807   U.cuni 4007   Tr wtr 4294   ran crn 4871  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   Univcgru 8657
This theorem is referenced by:  grutr  8660  grupw  8662  grupr  8664  gruurn  8665  intgru  8681  ingru  8682  grutsk1  8688
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-tr 4295  df-iota 5410  df-fv 5454  df-ov 6076  df-gru 8658
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