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Theorem elgrug 8414
Description: Properties of a Grothendieck's universe. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
elgrug  |-  ( U  e.  V  ->  ( U  e.  Univ  <->  ( Tr  U  /\  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x
) U. ran  y  e.  U ) ) ) )
Distinct variable group:    x, U, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)

Proof of Theorem elgrug
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 treq 4119 . . 3  |-  ( u  =  U  ->  ( Tr  u  <->  Tr  U )
)
2 eleq2 2344 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( ~P x  e.  u  <->  ~P x  e.  U ) )
3 eleq2 2344 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( { x ,  y }  e.  u  <->  { x ,  y }  e.  U ) )
43raleqbi1dv 2744 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  <->  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U ) )
5 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  (
u  ^m  x )  =  ( U  ^m  x ) )
6 eleq2 2344 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( U. ran  y  e.  u  <->  U.
ran  y  e.  U
) )
75, 6raleqbidv 2748 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( A. y  e.  (
u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u  <->  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U
) )
82, 4, 73anbi123d 1252 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  (
( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x
) U. ran  y  e.  u )  <->  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  {
x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U )
) )
98raleqbi1dv 2744 . . 3  |-  ( u  =  U  ->  ( A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
)  <->  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U
) ) )
101, 9anbi12d 691 . 2  |-  ( u  =  U  ->  (
( Tr  u  /\  A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  { x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u
) )  <->  ( Tr  U  /\  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x
) U. ran  y  e.  U ) ) ) )
11 df-gru 8413 . 2  |-  Univ  =  { u  |  ( Tr  u  /\  A. x  e.  u  ( ~P x  e.  u  /\  A. y  e.  u  {
x ,  y }  e.  u  /\  A. y  e.  ( u  ^m  x ) U. ran  y  e.  u )
) }
1210, 11elab2g 2916 1  |-  ( U  e.  V  ->  ( U  e.  Univ  <->  ( Tr  U  /\  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x
) U. ran  y  e.  U ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   ~Pcpw 3625   {cpr 3641   U.cuni 3827   Tr wtr 4113   ran crn 4690  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Univcgru 8412
This theorem is referenced by:  grutr  8415  grupw  8417  grupr  8419  gruurn  8420  intgru  8436  ingru  8437  grutsk1  8443  grutsk  8444
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-tr 4114  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861  df-gru 8413
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