Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elhf Unicode version

Theorem elhf 24804
Description: Membership in the hereditarily finite sets. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
elhf  |-  ( A  e. Hf 
<->  E. x  e.  om  A  e.  ( R1 `  x ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem elhf
StepHypRef Expression
1 df-hf 24803 . . 3  |- Hf  =  U. ( R1 " om )
21eleq2i 2347 . 2  |-  ( A  e. Hf 
<->  A  e.  U. ( R1 " om ) )
3 r111 7447 . . 3  |-  R1 : On
-1-1-> _V
4 f1fun 5439 . . 3  |-  ( R1 : On -1-1-> _V  ->  Fun 
R1 )
5 eluniima 5776 . . 3  |-  ( Fun 
R1  ->  ( A  e. 
U. ( R1 " om )  <->  E. x  e.  om  A  e.  ( R1 `  x ) ) )
63, 4, 5mp2b 9 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" om )  <->  E. x  e.  om  A  e.  ( R1 `  x ) )
72, 6bitri 240 1  |-  ( A  e. Hf 
<->  E. x  e.  om  A  e.  ( R1 `  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    e. wcel 1684   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   U.cuni 3827   Oncon0 4392   omcom 4656   "cima 4692   Fun wfun 5249   -1-1->wf1 5252   ` cfv 5255   R1cr1 7434   Hf chf 24802
This theorem is referenced by:  elhf2  24805  0hf  24807
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-r1 7436  df-hf 24803
  Copyright terms: Public domain W3C validator