Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elhf Unicode version

Theorem elhf 24876
Description: Membership in the hereditarily finite sets. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
elhf  |-  ( A  e. Hf 
<->  E. x  e.  om  A  e.  ( R1 `  x ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem elhf
StepHypRef Expression
1 df-hf 24875 . . 3  |- Hf  =  U. ( R1 " om )
21eleq2i 2360 . 2  |-  ( A  e. Hf 
<->  A  e.  U. ( R1 " om ) )
3 r111 7463 . . 3  |-  R1 : On
-1-1-> _V
4 f1fun 5455 . . 3  |-  ( R1 : On -1-1-> _V  ->  Fun 
R1 )
5 eluniima 5792 . . 3  |-  ( Fun 
R1  ->  ( A  e. 
U. ( R1 " om )  <->  E. x  e.  om  A  e.  ( R1 `  x ) ) )
63, 4, 5mp2b 9 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" om )  <->  E. x  e.  om  A  e.  ( R1 `  x ) )
72, 6bitri 240 1  |-  ( A  e. Hf 
<->  E. x  e.  om  A  e.  ( R1 `  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    e. wcel 1696   E.wrex 2557   _Vcvv 2801   U.cuni 3843   Oncon0 4408   omcom 4672   "cima 4708   Fun wfun 5265   -1-1->wf1 5268   ` cfv 5271   R1cr1 7450   Hf chf 24874
This theorem is referenced by:  elhf2  24877  0hf  24879
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-r1 7452  df-hf 24875
  Copyright terms: Public domain W3C validator