Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elhf2g Structured version   Unicode version

Theorem elhf2g 26118
Description: Hereditarily finiteness via rank. Closed form of elhf2 26117. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
elhf2g  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. Hf  <->  ( rank `  A
)  e.  om )
)

Proof of Theorem elhf2g
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2497 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e. Hf  <->  A  e. Hf  )
)
2 fveq2 5729 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( rank `  x )  =  ( rank `  A
) )
32eleq1d 2503 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( rank `  x )  e.  om  <->  ( rank `  A
)  e.  om )
)
4 vex 2960 . . 3  |-  x  e. 
_V
54elhf2 26117 . 2  |-  ( x  e. Hf 
<->  ( rank `  x
)  e.  om )
61, 3, 5vtoclbg 3013 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. Hf  <->  ( rank `  A
)  e.  om )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726   omcom 4846   ` cfv 5455   rankcrnk 7690   Hf chf 26114
This theorem is referenced by:  hfun  26120  hfsn  26121  hfelhf  26123  hfuni  26126  hfpw  26127  hfninf  26128
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-reg 7561  ax-inf2 7597
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-r1 7691  df-rank 7692  df-hf 26115
  Copyright terms: Public domain W3C validator