MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elhoma Unicode version

Theorem elhoma 14116
Description: Value of the disjointified hom-set function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
homarcl.h  |-  H  =  (Homa
`  C )
homafval.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
homafval.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
homaval.j  |-  J  =  (  Hom  `  C
)
homaval.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
homaval.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
elhoma  |-  ( ph  ->  ( Z ( X H Y ) F  <-> 
( Z  =  <. X ,  Y >.  /\  F  e.  ( X J Y ) ) ) )

Proof of Theorem elhoma
StepHypRef Expression
1 homarcl.h . . . 4  |-  H  =  (Homa
`  C )
2 homafval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
3 homafval.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
4 homaval.j . . . 4  |-  J  =  (  Hom  `  C
)
5 homaval.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
6 homaval.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
71, 2, 3, 4, 5, 6homaval 14115 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X H Y )  =  ( {
<. X ,  Y >. }  X.  ( X J Y ) ) )
87breqd 4166 . 2  |-  ( ph  ->  ( Z ( X H Y ) F  <-> 
Z ( { <. X ,  Y >. }  X.  ( X J Y ) ) F ) )
9 brxp 4851 . . 3  |-  ( Z ( { <. X ,  Y >. }  X.  ( X J Y ) ) F  <->  ( Z  e. 
{ <. X ,  Y >. }  /\  F  e.  ( X J Y ) ) )
10 opex 4370 . . . . 5  |-  <. X ,  Y >.  e.  _V
1110elsnc2 3788 . . . 4  |-  ( Z  e.  { <. X ,  Y >. }  <->  Z  =  <. X ,  Y >. )
1211anbi1i 677 . . 3  |-  ( ( Z  e.  { <. X ,  Y >. }  /\  F  e.  ( X J Y ) )  <->  ( Z  =  <. X ,  Y >.  /\  F  e.  ( X J Y ) ) )
139, 12bitri 241 . 2  |-  ( Z ( { <. X ,  Y >. }  X.  ( X J Y ) ) F  <->  ( Z  = 
<. X ,  Y >.  /\  F  e.  ( X J Y ) ) )
148, 13syl6bb 253 1  |-  ( ph  ->  ( Z ( X H Y ) F  <-> 
( Z  =  <. X ,  Y >.  /\  F  e.  ( X J Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {csn 3759   <.cop 3762   class class class wbr 4155    X. cxp 4818   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Basecbs 13398    Hom chom 13469   Catccat 13818  Homachoma 14107
This theorem is referenced by:  elhomai  14117  homa1  14121  homahom2  14122
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-homa 14110
  Copyright terms: Public domain W3C validator