MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elhoma Structured version   Unicode version

Theorem elhoma 14177
Description: Value of the disjointified hom-set function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
homarcl.h  |-  H  =  (Homa
`  C )
homafval.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
homafval.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
homaval.j  |-  J  =  (  Hom  `  C
)
homaval.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
homaval.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
elhoma  |-  ( ph  ->  ( Z ( X H Y ) F  <-> 
( Z  =  <. X ,  Y >.  /\  F  e.  ( X J Y ) ) ) )

Proof of Theorem elhoma
StepHypRef Expression
1 homarcl.h . . . 4  |-  H  =  (Homa
`  C )
2 homafval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
3 homafval.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
4 homaval.j . . . 4  |-  J  =  (  Hom  `  C
)
5 homaval.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
6 homaval.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
71, 2, 3, 4, 5, 6homaval 14176 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X H Y )  =  ( {
<. X ,  Y >. }  X.  ( X J Y ) ) )
87breqd 4215 . 2  |-  ( ph  ->  ( Z ( X H Y ) F  <-> 
Z ( { <. X ,  Y >. }  X.  ( X J Y ) ) F ) )
9 brxp 4901 . . 3  |-  ( Z ( { <. X ,  Y >. }  X.  ( X J Y ) ) F  <->  ( Z  e. 
{ <. X ,  Y >. }  /\  F  e.  ( X J Y ) ) )
10 opex 4419 . . . . 5  |-  <. X ,  Y >.  e.  _V
1110elsnc2 3835 . . . 4  |-  ( Z  e.  { <. X ,  Y >. }  <->  Z  =  <. X ,  Y >. )
1211anbi1i 677 . . 3  |-  ( ( Z  e.  { <. X ,  Y >. }  /\  F  e.  ( X J Y ) )  <->  ( Z  =  <. X ,  Y >.  /\  F  e.  ( X J Y ) ) )
139, 12bitri 241 . 2  |-  ( Z ( { <. X ,  Y >. }  X.  ( X J Y ) ) F  <->  ( Z  = 
<. X ,  Y >.  /\  F  e.  ( X J Y ) ) )
148, 13syl6bb 253 1  |-  ( ph  ->  ( Z ( X H Y ) F  <-> 
( Z  =  <. X ,  Y >.  /\  F  e.  ( X J Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {csn 3806   <.cop 3809   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13459    Hom chom 13530   Catccat 13879  Homachoma 14168
This theorem is referenced by:  elhomai  14178  homa1  14182  homahom2  14183
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-homa 14171
  Copyright terms: Public domain W3C validator