MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elhomai2 Unicode version

Theorem elhomai2 13882
Description: Produce an arrow from a morphism. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
homarcl.h  |-  H  =  (Homa
`  C )
homafval.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
homafval.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
homaval.j  |-  J  =  (  Hom  `  C
)
homaval.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
homaval.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
elhomai.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X J Y ) )
Assertion
Ref Expression
elhomai2  |-  ( ph  -> 
<. X ,  Y ,  F >.  e.  ( X H Y ) )

Proof of Theorem elhomai2
StepHypRef Expression
1 df-ot 3663 . 2  |-  <. X ,  Y ,  F >.  = 
<. <. X ,  Y >. ,  F >.
2 homarcl.h . . . 4  |-  H  =  (Homa
`  C )
3 homafval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
4 homafval.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
5 homaval.j . . . 4  |-  J  =  (  Hom  `  C
)
6 homaval.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
7 homaval.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
8 elhomai.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X J Y ) )
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8elhomai 13881 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. X ,  Y >. ( X H Y ) F )
10 df-br 4040 . . 3  |-  ( <. X ,  Y >. ( X H Y ) F  <->  <. <. X ,  Y >. ,  F >.  e.  ( X H Y ) )
119, 10sylib 188 . 2  |-  ( ph  -> 
<. <. X ,  Y >. ,  F >.  e.  ( X H Y ) )
121, 11syl5eqel 2380 1  |-  ( ph  -> 
<. X ,  Y ,  F >.  e.  ( X H Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   <.cop 3656   <.cotp 3657   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164    Hom chom 13235   Catccat 13582  Homachoma 13871
This theorem is referenced by:  idahom  13908  coahom  13918
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-ot 3663  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-homa 13874
  Copyright terms: Public domain W3C validator