Theorem elicc1t 6384

Description: Membership in a closed interval of extended reals.

Assertion

Ref	Expression
elicc1t	|- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (C e. (A[,]B) <-> (C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B)))

Proof of Theorem elicc1t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccvalt 6378	. . 3 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A[,]B) = {x e. RR* | (A <_ x /\ x <_ B)})
2	1	eleq2d 1544	. 2 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (C e. (A[,]B) <-> C e. {x e. RR* | (A <_ x /\ x <_ B)}))
3		breq2 2628	. . . . 5 |- (x = C -> (A <_ x <-> A <_ C))
4		breq1 2627	. . . . 5 |- (x = C -> (x <_ B <-> C <_ B))
5	3, 4	anbi12d 630	. . . 4 |- (x = C -> ((A <_ x /\ x <_ B) <-> (A <_ C /\ C <_ B)))
6	5	elrab 1908	. . 3 |- (C e. {x e. RR* | (A <_ x /\ x <_ B)} <-> (C e. RR* /\ (A <_ C /\ C <_ B)))
7		3anass 781	. . 3 |- ((C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B) <-> (C e. RR* /\ (A <_ C /\ C <_ B)))
8	6, 7	bitr4 176	. 2 |- (C e. {x e. RR* | (A <_ x /\ x <_ B)} <-> (C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B))
9	2, 8	syl6bb 538	1 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (C e. (A[,]B) <-> (C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  {crab 1651   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969   <_ cle 5307  RR*cxr 5497  [,]cicc 6361

This theorem is referenced by:  elicc2t 6393  ioossicc 6398  clsrebb 10479  cdrci 10480

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-enr 5178  df-nr 5179  df-0r 5183  df-c 5252  df-r 5256  df-xr 5501  df-icc 6365

Copyright terms: Public domain