MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicc2 Unicode version

Theorem elicc2 10731
Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 21-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicc2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )

Proof of Theorem elicc2
StepHypRef Expression
1 rexr 8893 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 8893 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 elicc1 10716 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <->  ( C  e.  RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) ) )
41, 2, 3syl2an 463 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
5 mnfxr 10472 . . . . . . . 8  |-  -oo  e.  RR*
65a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  -oo  e.  RR* )
71ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  A  e.  RR* )
8 simpr1 961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  C  e.  RR* )
9 mnflt 10480 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  -oo  <  A )
109ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  -oo  <  A )
11 simpr2 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  A  <_  C )
126, 7, 8, 10, 11xrltletrd 10508 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  -oo  <  C )
132ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  B  e.  RR* )
14 pnfxr 10471 . . . . . . . 8  |-  +oo  e.  RR*
1514a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  +oo  e.  RR* )
16 simpr3 963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  C  <_  B )
17 ltpnf 10479 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <  +oo )
1817ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  B  <  +oo )
198, 13, 15, 16, 18xrlelttrd 10507 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  C  <  +oo )
20 xrrebnd 10513 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  RR*  ->  ( C  e.  RR  <->  (  -oo  <  C  /\  C  <  +oo ) ) )
218, 20syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  ( C  e.  RR  <->  (  -oo  <  C  /\  C  <  +oo ) ) )
2212, 19, 21mpbir2and 888 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  C  e.  RR )
2322, 11, 163jca 1132 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )  ->  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) )
2423ex 423 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  ->  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) ) )
25 rexr 8893 . . . 4  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  RR* )
26253anim1i 1138 . . 3  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B )  ->  ( C  e.  RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) )
2724, 26impbid1 194 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
)  <->  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) ) )
284, 27bitrd 244 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1696   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   RRcr 8752    +oocpnf 8880    -oocmnf 8881   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   [,]cicc 10675
This theorem is referenced by:  elicc2i  10732  iccssre  10747  iccsupr  10752  iccneg  10773  iccsplit  10784  iccshftr  10785  iccshftl  10787  iccdil  10789  icccntr  10791  iccf1o  10794  icco1  12030  iccntr  18342  icccmplem1  18343  icccmplem2  18344  icccmplem3  18345  reconnlem1  18347  reconnlem2  18348  cnmpt2pc  18442  icoopnst  18453  iocopnst  18454  cnheiborlem  18468  ivthlem2  18828  ivthlem3  18829  ivthicc  18834  evthicc2  18836  ovolficc  18844  ovolicc1  18891  ovolicc2lem2  18893  ovolicc2lem5  18896  ovolicopnf  18899  dyadmaxlem  18968  opnmbllem  18972  volsup2  18976  volcn  18977  mbfi1fseqlem6  19091  itgspliticc  19207  itgsplitioo  19208  ditgcl  19224  ditgswap  19225  ditgsplitlem  19226  ditgsplit  19227  dvlip  19356  dvlip2  19358  dveq0  19363  dvgt0lem1  19365  dvivthlem1  19371  dvne0  19374  dvcnvrelem1  19380  dvcnvrelem2  19381  dvcnvre  19382  dvfsumlem2  19390  ftc1lem1  19398  ftc1lem2  19399  ftc1a  19400  ftc1lem4  19402  ftc2  19407  ftc2ditglem  19408  itgsubstlem  19411  pserulm  19814  loglesqr  20114  log2tlbnd  20257  ppisval  20357  chtleppi  20465  fsumvma2  20469  chpchtsum  20474  chpub  20475  rplogsumlem2  20650  chpdifbndlem1  20718  pntibndlem2a  20755  pntibndlem2  20756  pntlemj  20768  pntlem3  20774  pntleml  20776  elunitrn  23296  elunitge0  23298  unitdivcld  23300  xrge0iifhom  23334  rescon  23792  cvmliftlem10  23840  areacirclem4  25030  areacirclem5  25032  areacirc  25034  icccon2  25803  icccon3  25804  icccon4  25805  isbnd3  26611  isbnd3b  26612  prdsbnd  26620  iccbnd  26667
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-icc 10679
  Copyright terms: Public domain W3C validator