MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicc2i Structured version   Unicode version

Theorem elicc2i 10976
Description: Inference for membership in a closed interval. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
elicc2i.1  |-  A  e.  RR
elicc2i.2  |-  B  e.  RR
Assertion
Ref Expression
elicc2i  |-  ( C  e.  ( A [,] B )  <->  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )

Proof of Theorem elicc2i
StepHypRef Expression
1 elicc2i.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 elicc2i.2 . 2  |-  B  e.  RR
3 elicc2 10975 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
41, 2, 3mp2an 654 1  |-  ( C  e.  ( A [,] B )  <->  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ w3a 936    e. wcel 1725   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   RRcr 8989    <_ cle 9121   [,]cicc 10919
This theorem is referenced by:  0elunit  11015  1elunit  11016  lincmb01cmp  11038  iccf1o  11039  sinbnd2  12783  cosbnd2  12784  rpnnen2  12825  blcvx  18829  iirev  18954  iihalf1  18956  iihalf2  18958  elii1  18960  elii2  18961  iimulcl  18962  iccpnfhmeo  18970  xrhmeo  18971  oprpiece1res2  18977  lebnumii  18991  htpycc  19005  pco0  19039  pcoval2  19041  pcocn  19042  pcohtpylem  19044  pcopt  19047  pcopt2  19048  pcoass  19049  pcorevlem  19051  vitalilem2  19501  vitali  19505  abelth2  20358  coseq00topi  20410  coseq0negpitopi  20411  sinq12ge0  20416  cosq14ge0  20419  cosordlem  20433  cosord  20434  cos11  20435  sinord  20436  recosf1o  20437  resinf1o  20438  efif1olem3  20446  argregt0  20505  argrege0  20506  argimgt0  20507  logimul  20509  cxpsqrlem  20593  chordthmlem4  20676  acosbnd  20740  leibpi  20782  log2ub  20789  jensenlem2  20826  emcllem7  20840  emgt0  20845  harmonicbnd3  20846  harmoniclbnd  20847  harmonicubnd  20848  harmonicbnd4  20849  logdivbnd  21250  pntpbnd2  21281  stge0  23727  stle1  23728  strlem3a  23755  elunitrn  24295  elunitge0  24297  unitdivcld  24299  xrge0iifiso  24321  xrge0iifhom  24323  lgamgulmlem2  24814  rescon  24933  snmlff  25016  divelunit  25185  brbtwn2  25844  ax5seglem1  25867  ax5seglem2  25868  ax5seglem3  25870  ax5seglem5  25872  ax5seglem6  25873  ax5seglem9  25876  ax5seg  25877  axbtwnid  25878  axpaschlem  25879  axpasch  25880  axcontlem2  25904  axcontlem4  25906  axcontlem7  25909  lhe4.4ex1a  27523
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-icc 10923
  Copyright terms: Public domain W3C validator