MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicc2i Unicode version

Theorem elicc2i 10716
Description: Inference for membership in a closed interval. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
elicc2i.1  |-  A  e.  RR
elicc2i.2  |-  B  e.  RR
Assertion
Ref Expression
elicc2i  |-  ( C  e.  ( A [,] B )  <->  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )

Proof of Theorem elicc2i
StepHypRef Expression
1 elicc2i.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 elicc2i.2 . 2  |-  B  e.  RR
3 elicc2 10715 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
41, 2, 3mp2an 653 1  |-  ( C  e.  ( A [,] B )  <->  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ w3a 934    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736    <_ cle 8868   [,]cicc 10659
This theorem is referenced by:  0elunit  10754  1elunit  10755  lincmb01cmp  10777  iccf1o  10778  sinbnd2  12462  cosbnd2  12463  rpnnen2  12504  blcvx  18304  iirev  18427  iihalf1  18429  iihalf2  18431  elii1  18433  elii2  18434  iimulcl  18435  iccpnfhmeo  18443  xrhmeo  18444  oprpiece1res2  18450  lebnumii  18464  htpycc  18478  pco0  18512  pcoval2  18514  pcocn  18515  pcohtpylem  18517  pcopt  18520  pcopt2  18521  pcoass  18522  pcorevlem  18524  vitalilem2  18964  vitalilem4  18966  vitali  18968  abelth2  19818  coseq00topi  19870  coseq0negpitopi  19871  sinq12ge0  19876  cosq14ge0  19879  cosordlem  19893  cosord  19894  cos11  19895  sinord  19896  recosf1o  19897  resinf1o  19898  efif1olem3  19906  argregt0  19964  argrege0  19965  argimgt0  19966  logimul  19968  cxpsqrlem  20049  chordthmlem4  20132  acosbnd  20196  leibpi  20238  log2ub  20245  jensenlem2  20282  emcllem7  20295  emgt0  20300  harmonicbnd3  20301  harmoniclbnd  20302  harmonicubnd  20303  harmonicbnd4  20304  logdivbnd  20705  pntpbnd2  20736  stge0  22804  stle1  22805  strlem3a  22832  xrge0iifiso  23317  rescon  23777  snmlff  23912  divelunit  24080  brbtwn2  24533  ax5seglem1  24556  ax5seglem2  24557  ax5seglem3  24559  ax5seglem5  24561  ax5seglem6  24562  ax5seglem9  24565  ax5seg  24566  axbtwnid  24567  axpaschlem  24568  axpasch  24569  axcontlem2  24593  axcontlem4  24595  axcontlem7  24598  cntrset  25602  lhe4.4ex1a  27546
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-icc 10663
  Copyright terms: Public domain W3C validator