MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicc2i Unicode version

Theorem elicc2i 10732
Description: Inference for membership in a closed interval. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
elicc2i.1  |-  A  e.  RR
elicc2i.2  |-  B  e.  RR
Assertion
Ref Expression
elicc2i  |-  ( C  e.  ( A [,] B )  <->  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )

Proof of Theorem elicc2i
StepHypRef Expression
1 elicc2i.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 elicc2i.2 . 2  |-  B  e.  RR
3 elicc2 10731 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
41, 2, 3mp2an 653 1  |-  ( C  e.  ( A [,] B )  <->  ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ w3a 934    e. wcel 1696   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   RRcr 8752    <_ cle 8884   [,]cicc 10675
This theorem is referenced by:  0elunit  10770  1elunit  10771  lincmb01cmp  10793  iccf1o  10794  sinbnd2  12478  cosbnd2  12479  rpnnen2  12520  blcvx  18320  iirev  18443  iihalf1  18445  iihalf2  18447  elii1  18449  elii2  18450  iimulcl  18451  iccpnfhmeo  18459  xrhmeo  18460  oprpiece1res2  18466  lebnumii  18480  htpycc  18494  pco0  18528  pcoval2  18530  pcocn  18531  pcohtpylem  18533  pcopt  18536  pcopt2  18537  pcoass  18538  pcorevlem  18540  vitalilem2  18980  vitalilem4  18982  vitali  18984  abelth2  19834  coseq00topi  19886  coseq0negpitopi  19887  sinq12ge0  19892  cosq14ge0  19895  cosordlem  19909  cosord  19910  cos11  19911  sinord  19912  recosf1o  19913  resinf1o  19914  efif1olem3  19922  argregt0  19980  argrege0  19981  argimgt0  19982  logimul  19984  cxpsqrlem  20065  chordthmlem4  20148  acosbnd  20212  leibpi  20254  log2ub  20261  jensenlem2  20298  emcllem7  20311  emgt0  20316  harmonicbnd3  20317  harmoniclbnd  20318  harmonicubnd  20319  harmonicbnd4  20320  logdivbnd  20721  pntpbnd2  20752  stge0  22820  stle1  22821  strlem3a  22848  xrge0iifiso  23332  rescon  23792  snmlff  23927  divelunit  24095  brbtwn2  24605  ax5seglem1  24628  ax5seglem2  24629  ax5seglem3  24631  ax5seglem5  24633  ax5seglem6  24634  ax5seglem9  24637  ax5seg  24638  axbtwnid  24639  axpaschlem  24640  axpasch  24641  axcontlem2  24665  axcontlem4  24667  axcontlem7  24670  cntrset  25705  lhe4.4ex1a  27649
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-icc 10679
  Copyright terms: Public domain W3C validator