HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem elico2t 6392
Description: Membership in a closed-below, open-above real interval. (Contributed by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
elico2t |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A[,)B) <-> (C e. RR /\ A <_ C /\ C < B)))
Proof of Theorem elico2t
StepHypRef Expression
1 elico1t 6383 . . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (C e. (A[,)B) <-> (C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B)))
2 rexrt 5511 . . . 4 |- (A e. RR -> A e. RR*)
3 rexrt 5511 . . . 4 |- (B e. RR -> B e. RR*)
41, 2, 3syl2an 456 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A[,)B) <-> (C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B)))
5 mnfltt 5555 . . . . . . . . . 10 |- (A e. RR -> -oo < A)
65ad2antrr 406 . . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> -oo < A)
7 mnfxr 5506 . . . . . . . . . . . 12 |- -oo e. RR*
8 xrltletrt 5575 . . . . . . . . . . . 12 |- (( -oo e. RR* /\ A e. RR* /\ C e. RR*) -> (( -oo < A /\ A <_ C) -> -oo < C))
97, 8mp3an1 905 . . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR* /\ C e. RR*) -> (( -oo < A /\ A <_ C) -> -oo < C))
109, 2sylan 450 . . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ C e. RR*) -> (( -oo < A /\ A <_ C) -> -oo < C))
1110adantlr 395 . . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> (( -oo < A /\ A <_ C) -> -oo < C))
126, 11mpand 703 . . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> (A <_ C -> -oo < C))
13 ltpnft 5554 . . . . . . . . . 10 |- (B e. RR -> B < +oo)
1413ad2antlr 407 . . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> B < +oo)
15 pnfxr 5505 . . . . . . . . . . . . 13 |- +oo e. RR*
16 xrlttrt 5565 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((C e. RR* /\ B e. RR* /\ +oo e. RR*) -> ((C < B /\ B < +oo) -> C < +oo))
1715, 16mp3an3 907 . . . . . . . . . . . 12 |- ((C e. RR* /\ B e. RR*) -> ((C < B /\ B < +oo) -> C < +oo))
1817, 3sylan2 453 . . . . . . . . . . 11 |- ((C e. RR* /\ B e. RR) -> ((C < B /\ B < +oo) -> C < +oo))
1918ancoms 438 . . . . . . . . . 10 |- ((B e. RR /\ C e. RR*) -> ((C < B /\ B < +oo) -> C < +oo))
2019adantll 394 . . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> ((C < B /\ B < +oo) -> C < +oo))
2114, 20mpan2d 704 . . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> (C < B -> C < +oo))
2212, 21anim12d 560 . . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> ((A <_ C /\ C < B) -> ( -oo < C /\ C < +oo)))
23 xrrebndt 5580 . . . . . . . 8 |- (C e. RR* -> (C e. RR <-> ( -oo < C /\ C < +oo)))
2423adantl 390 . . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> (C e. RR <-> ( -oo < C /\ C < +oo)))
2522, 24sylibrd 204 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. RR*) -> ((A <_ C /\ C < B) -> C e. RR))
2625expimpd 375 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR* /\ (A <_ C /\ C < B)) -> C e. RR))
27 pm3.27 323 . . . . . 6 |- ((C e. RR* /\ (A <_ C /\ C < B)) -> (A <_ C /\ C < B))
2827a1i 8 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR* /\ (A <_ C /\ C < B)) -> (A <_ C /\ C < B)))
2926, 28jcad 602 . . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR* /\ (A <_ C /\ C < B)) -> (C e. RR /\ (A <_ C /\ C < B))))
30 3anass 781 . . . 4 |- ((C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B) <-> (C e. RR* /\ (A <_ C /\ C < B)))
31 3anass 781 . . . 4 |- ((C e. RR /\ A <_ C /\ C < B) <-> (C e. RR /\ (A <_ C /\ C < B)))
3229, 30, 313imtr4g 555 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B) -> (C e. RR /\ A <_ C /\ C < B)))
334, 32sylbid 203 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A[,)B) -> (C e. RR /\ A <_ C /\ C < B)))
34 rexrt 5511 . . . . 5 |- (C e. RR -> C e. RR*)
3534anim1i 334 . . . 4 |- ((C e. RR /\ (A <_ C /\ C < B)) -> (C e. RR* /\ (A <_ C /\ C < B)))
3635, 31, 303imtr4 219 . . 3 |- ((C e. RR /\ A <_ C /\ C < B) -> (C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B))
374, 36syl5bir 210 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((C e. RR /\ A <_ C /\ C < B) -> C e. (A[,)B)))
3833, 37impbid 518 1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A[,)B) <-> (C e. RR /\ A <_ C /\ C < B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   e. wcel 960   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  RRcr 5245   <_ cle 5307   +oocpnf 5495   -oocmnf 5496  RR*cxr 5497   < clt 5498  [,)cico 6360
This theorem is referenced by:  icoshft 6409  icoshftf1oi 6410  icounlem 6413  snunioolem 6415  ioojoint 6417  pilem1 8666  pilem2 8667  cosh111t 8712  efif 8716  efifolem4 8720  efifolem6 8722  efifolem7 8723  efif1lem2 8726  efif1lem3 8727  efif1lem4 8728  efif1lem5 8729  efif1lem6 8730  circgrp 8735  shftefif1olem 8736  effoi 8740  resslogrn 8748  pilog 8763
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-ltp 5102  df-enr 5178  df-nr 5179  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-c 5252  df-r 5256  df-lt 5259  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-ico 6364
Copyright terms: Public domain